第二章 动量守衡 质点动力学2-1 一个原来静止的原子核，经放射性衰变，放出一个动量为9.22×10-16g ⋅cm/s 的电子，同时该核在垂直方向上又放出一个动量为5.33×10-16g ⋅cm/s 的中微子，问蜕变后原子核的动量的大小和方向。

解: 衰变过程是: e v e B A ++→-，由动量守衡得 .0=++v e B P P P 大小：e B P P =--==s cm g s cm g /1065.10/1033.522.9161622⋅⨯=⋅⨯+=--.方向:3022.933.511===--tgtgθ；15030180=-=ϕ,1203090=+=φ.2-2 质量为M 的木块静止在光滑的水平桌面上。

质量为m ，速率为v 0的子弹水平地入射到木块内(见本题图)并与它一起运动。

求 (1)子弹相对于木块静止后，木块的速率和动量，以及子弹的动量；(2)在此过程中子弹施于木块的冲量。

解:(1)设木块的速率为v , 由动量守衡: v m M mv )(0+=；得0v mM m v +=， 木块的动量0v m M Mm mv p +==木，子弹的动量02v mM mmv p +==子.(2)子弹施予木块的冲量为 00v mM Mm P I +=-=木木.2-3 如本题图，已知绳的最大强度T 0 = 1.00 kg ，m = 500g , l = 30.0cm ，开始时m 静止。

水平冲量I 等于多大才能把绳子打断？ 解: 要求向心力mg T evmF ->=02，即要求l mmg T v ->0，l mmg T mmv I ->-=00.故 l mg T m I )(0-=s m kg /86.0]100.30)8.9105008.91(10500[21233⋅=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=---2-4 一子弹水平地穿过两个前后并排在光滑水平桌面上的静止木块。

木块的质量分别为m 1和m 2；设子弹透过两木块的时间间隔为t 1和t 2，子弹在木块中所受阻力为恒力f ，求子弹穿过时两木块各以多大的速度运动.解: 当子弹穿出m 1时, m 1与 m 2一起运动, 故 1211)(v m m ft +=; 2111m m ft v +=.当子弹穿出m 2时, 12222v m v m ft -=，解得 222112212m ft m m ft m ft v v ++=+=.2-5 质量70kg 的渔人站在小船上，设船和渔人的总质量为200kg ．若渔人在船上向船头走4.0m 后停止。

试问：以岸为参考系，渔人走了多远？解: 设人向右走,对岸速度为v 人 , 相对船的速度为u 人 , 船向左行,对岸的速度为v 船 ;则v 人 = -v 船+u 人 .水平方向动量守恒 : ｍ船v 船 - ｍ人(-v 船 + u 人) = (ｍ船 +ｍ人)v 船-ｍ人u 人 = 0.两边积分得:人对船人船人船人人船人船S m S m m dt u m dt v m m tt=+⇒=+⎰⎰)()(0.由此可得 m S m m m S 4.1420070=⨯=+=人对船人船人船 (对岸)m S S dt u dt v dt v S ttt6.244.10=+-=+-=+==⎰⎰⎰人对船船人船人人 (对岸).2-6 两艘船依惯性在静止湖面上以匀速相向运动，它们的速率皆为6.0m/s ．当两船擦肩相遇时，将甲船上的货物都搬上乙船，甲船的速率未变，而乙船的速率变为4.0m/s ．设甲船空载质量为50kg ，货物质量为60kg ，求乙船质量。

解: 已知 m 甲=500 kg , m 货= 60 kg , v 甲0= v 乙0= v 0 = 6.0 m/s , v 乙= 4.0 m/s ；待求：m 乙 。

忽略水中阻力,两船作为一个系统,其 动量守衡. 即: (m 甲+ m 货)v 0 - m 乙v 0 = m 甲v 0 - ( m 乙+m 货) v ；kgm v v v v m 30060464600=⨯-+=-+=∴货乙乙乙.2-7 三只质量均为M 的小船鱼贯而行，速率均为v ．由中间那只船上同时以水平速率M (相对于船)把两质量均为m 的物体分别抛到前后两只船上。

求此后三只船的速率。

解: 设前v 、中v、后v 分别为前、中、后三船的待求速度. u 与v 同向时为正, 反之为负. 由水平方向的动量守衡定律,有:前: 前中v m M u v m v M)()(+=++,中: ）中中中u v m u v m v m M v M++-+-+()()2(, 后: 后中v m M u v m v M)()(+=-+; 可推出: 前v= u mM mv++, 中v = v , 后v = u mM m v+-.∵u 的正方向与v同向,∴三船的速率分别为:u m M m v v ++=前, v v =中, u mM mv v +-=后.2-8 一质量为M 的有轨板车上有n 个人，各人质量均为m ．开始时板车静止。

(1) 若所有人一起跑到车的一端跳离车子，设离车前它们相对于车子的速度为u ，求跳离后车子的速度；(2) 若n 个人一个接一个地跳离车子，每人跳离前相对于车子的速度皆为u ，求车子最后速度的表达式；(3)在上述两种情况中，何者车子获得的速度较大？ 解: (1) 人跳离后车子的速度为v ，由水平方向的动量守恒得: 0)(=++u v Nm Mv, 即 u NmM Nm v+-= (1)(2) 第一人跳:)(])1([11=++-+u v m v m N M，得 u NmM mv+-=1 (2)第二人跳: 122])1([)(])2([v m N M u v m v m N M-+=++-+得 ()u mN M NmM m u mN M m v v])1(11[112-+++-=-+-= (3)最后一个人跳: 1)()(-+=++n n n v m M u v m v M,由此可得u mM m mM m mN M NmM m u mM m v v n n]2)1(11[1+++++-+++-=+-=- (4)这是车子最后速度的表达式.(3) 比较(1)式和(4)式, 显然有v v n>. 即一个接一个地跳(第二种情况)比集体跳,能使车子最后获得更大的动能.2-9 一炮弹以速率v 0和仰角θ0发射，到达弹道的最高点时炸为质量相等的两块 (见本题图)，其中一块以速率v 1铅垂下落，求另一块的速率v 2及速度与水平方向的夹角 (忽略空气阻力)。

解: 炮弹在最高点时00cos θv v x =,0=y v .在爆炸瞬间,内力>>重力，即外力可忽略不计，故此时动量守衡： i mv j mv i mv v v m x y x=+=+))(21(21.即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===1220021sin 210cos 21cos mvmv mv mv mv x ααθ ，或 0220212cos 4θv v v +=.∴ 201211011cos 2cossincos 2v v v v v v tgθθα---===。

2-10 求每分钟射出240发子弹的机枪平均反冲力，假定每粒子弹的质量为10g ，枪口速度为900m/s 。

解: 设平均反冲力为 F = 射击时所需的平均力, 则机枪的动量变化为 =t F 子弹的动量变化 = 240 mv – 0 = 240 mv , N t mvF 366090010102402403=⨯⨯⨯==∴-.2-11 一起始质量为M 0的火箭以恒定率 |d M /d t | = u 排出燃烧过的燃料，排料相对于火箭的速率为v 0．(a) 计算火箭从发射台竖直向上起动时的初始加速度；(b) 如果v 0=2000m/s ，则对于一个质量为100 t 的这种火箭，要给以等于0.5g 的向上初始加速度，每秒钟必须排出多少kg 的燃料？解: (1) 仿照书上p.50的推导,可得火箭经过dt 时间后动量的改变为dt F dM v v md P P =+=-00 , 由此可得 F d M v d tvd m =+0. 在发射台附近, M=M 0 , μ=d td M, F = M 0g , 方向向下与F v 0; 0a dt dv =设, 则有: g M v a M 0000-=-μ, g M va -=μ000.(2) 由上述式子可见 s kg g a v M /7358.9)15.0(200010100)(300=⨯+⨯=+=μ.2-12体。

设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。

求第三级火箭的最终速率；(2)若把48t 燃料放在12t 的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。

解: (1) p.50的 (2.10)式可写成⎰⎰=-⇒-=vv mm mm c v v mdm c dv 000ln对第一级火箭: 3ln 2500406060ln2500ln01=-==mm c v .对第二级火箭: 3ln 50003/201010ln250012=-+=v v .对第三级火箭:s m v v /6.82393ln 75003/211ln250023==-+=.(2 )s m v /6.40235ln 2500486060ln 2500==-=.2-13 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的速率沉积在飞船上。

尘粒在落到飞船之前的速度为u ，方向与v 相反，在时刻t 飞船的总质量为M (t )，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？解: 由动量定理得: ])([)]()([dm u v t M v d v dm t M P P+-++=-dt F dm u d v v d t M=-+≈)()(两边求导得: F dtdmu v dt vd t M =-+)()(. ∵要求飞船匀速, 即 0=dt vd , u v 与的方向相反, 以v 为正向, 则dtdm u v F )( -=， 即dtdm u v F )(+= 为向前的推力（此式的v 、u 为绝对值）.2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，传送带以恒定速率v 运动着(见本题图)。

忽略机件各部位的摩擦。

若沙子落到传送带上的速率是dm ／dt ，试问：(1)要保持传送带以恒定速率v 运动，水平总推力F 多大？(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v 在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？ 解: (1) 在水平方向上, 由动量定理得:Fdt vdm mdv mv dv v dm m =+≈-++))((，两边求导得 dtdm vdtdv mF +=.即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 dtdm v F =(向前)(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v 前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上； 即沙子持续进来,便要持续施力dtdm vF = ,问题的答案不改变.2-15 一质量为m 的质点在x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos ωt i +b sin ωt j ，求质点受力的情况。