7.2 代数结构及其性质
设R为实数集合，它关于普通乘法*是R上的代数运算。 R-{0}是全体非零实数集合, 对任意a, b∈ R-{0},也 有 a*b∈R-{0}。因此，普通乘法*还是R-{0}上的代 数运算。 R关于普通加法+是R上的代数运算。 对任意a, b∈ R-{0},但不一定a+b∈R-{0}，例如2+ （-2）=0。因此，普通加法+不是R-{0}上的代数运算。
第7章 抽象代数
本章内容提要：
1. 抽象代数概述 2. 代数结构及其性质
重点： 代数结构的判定与构造 代数结构关系：同态、同构 特殊关系：同余关系
3. 同态与同构
7.1 抽象代数概述
抽象代数的创始人是两位英年早逝的青 年数学家，阿贝尔与伽罗瓦。阿贝尔, 是挪威
Байду номын сангаас
青年数学家, 乡村牧师之子, 幼年丧父, 家贫。
7.2 代数结构及其性质
A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 1 3 3 9 7
1
3
3
9
9
7
7
1
9
7
9
7
7
1
1
3
3
9
乘法*运算满足交换律、结合律、消去律
7.2 代数结构及其性质
B={0,1,2,3,4,5},B上模6乘法*运算表如下
* 0 1 2 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 4 3 0 3 0 4 0 4 2 0 4 2 5 0 5 4 3 2 1
若集合A上的二元运算*满足结合律, 则我们常 用a*b*c来表示(a*b)*c=a*(b*c)。
7.2 代数结构及其性质
于是, 进一步可令an=a*a*„*a,an 读作a 的n次幂。可以通过如下递归定义得到： (1) a1=a;
(2) an+1=an*a。
利用数学归纳法,不难证明下列公式:
(1) am*an=am+n;
抽象代数对计算机科学的发展有着重大的理 论和实践意义, 如在程序理论、语义学、数据结 构和编码理论, 以及逻辑电路设计的研究, 此外， 抽象代数还被广泛用于物理学、生物学以及社会 科学中。本章将探讨代数结构的数学描述以及一 般代数结构的基本性质。后续两章将深入讨论群、 布尔代数等典型的代数结构及其应用。
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抽象代数
Abstract Algebra
本部分所要探讨的数学结 构是由集合上定义若干运
算而组成的系统——称为
代数系统(代数结构)。
抽象代数
主要内容
第7章 抽象代数
第8章
第9章
群
布尔代数
第7章 抽象代数
相对古典代数而言, 抽象代数也称为近世代 数(Modern Algebra), 由于其研究对象是由对象 集合及运算组成的数学结构，即代数结构, 因此, 抽象代数也被称为代数结构或代数系统。
7.2 代数结构及其性质
其他例子：A={0,1}，A上逻辑非、析取、合取运算
一元运算
二元运算
¬
0 1 1 0
∨ 0 1
0 0 1 1 1 1
∧ 0 1
0 0 0
1 0 1
以上二元运算使用运算表。
7.2 代数结构及其性质
设I为全体整数集合, n是正整数, 规定 In到I的映射为f：(a1, a2, „, an)→a1,
对于任意(a1, a2, „, an)∈In,
则f是一个n元运算。其中 f(a1,a2,„,an)=a1。 上述代数运算的表示方法称为解析公式 法, 也就是用函数来表示运算。
7.2 代数结构及其性质
练习1 通常数的乘法运算是否可看作下 列集合上的二元运算？请说明理由。 （1）A={1,2} （2）B={x|x是素数} （3）C={x|x是偶数} （4）D={2n|n∈N}
(2) (am)n=amn。
其中，m，n∈I+。
7.2 代数结构及其性质
全体n×n实矩阵的集合Mn(R)上普通的
矩阵乘法*满足结合律，
但不满足交换律。因为一般有：
A*B≠B*A ，
Mn(R)上矩阵乘法*对加法+满足分配律。
7.2 代数结构及其性质
设A=｛1, 2, „, m｝, m是一个正整数。
定义7.3 设S是一个非空集合, f1, f2, „, fn 是S上的n个代数运算, 则S与n个运算所组成的结 构称为代数结构或代数系统,记为<S;f1, f2, „, fn>。
根据上述定义, 一个代数结构需满足如下两个 条件： (1)有一个非空集合S, 称为载体;
(2)一些定义在载体S上的运算。
若S为有限集，则该称代数结构为有限代数结构。
根据上述定义，可以看到，如果这个法则 是S的一个代数运算，则该法则其实就是S上的 一个映射(或函数)：Sn→S, n称为这个运算的 阶。对于集合S的一个n元运算f, 若(a1,a2,„, an)∈Sn在f下的像是c, 即f(a1,a2, „,an)→c, 则记为c=f(a1, a2, „, an)。
7.2 代数结构及其性质
定义7.1 设S是一个非空集合。如果有一 个法则, 它对S中任意两个有序元素a与b, 在S中都有一个惟一确定的元素c与它们 对应, 则称这个法则是集合S中一个二元 代数运算。
7.2 代数结构及其性质
一般地,容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则,它 对S中任意n个有序元素a1, a2, „, an, 在S中 都有一个惟一确定的元素d与它们对应, 则称这 个法则是集合S中一个n元代数运算。
{a,b,c} {a,b,c} {b,c} {b,c} {a,b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,c} {a,b,c} {a,b,c} {b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c}
{a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c} {a,b,c}
7.2 代数结构及其性质
上述示例中, 虽然是对不同集合给
出的不同运算, 但它们都具有这样一个
共同的特点：它们都是某个给定的集合
S(S分别为上述二例中的P(A)和Mn(R))中
的任意一个或一对有序取出的元素, 根
据这个法则可在S中找到惟一的一个元素
与之对应。由此, 我们可以抽象出在一 个集合上的二元代数运算的概念。
3
4
0
0
3
4
0
2
3
0
5
0
5
4
3
乘法*运算满足交换律、结合律
但不满足消去律，例如2*1= 2 =2*4，但1≠4
7.2 代数结构及其性质
练习3 实数集R上的下列二元运算是否满
足交换律和结合律？
（1）r1*r2=r1+r2-r1r2
（2）r1ο r2=(r1+r2)/2
7.2 代数结构及其性质
7.2.2 代数结构
7.1 抽象代数概述
伽罗瓦, 是法国青年数学家, 其父亲是自由主义 思想家, 母亲亦受了良好教育, 中学时就对数学产生 强烈兴趣, 他两次投考巴黎综合技术学院而未被录取， 后进入巴黎高师学习, 提出“群”的概念。但其论文 未被数学家柯西、泊松等接受。跟大多数数学家不问 政治不同，伽罗瓦是一个非常激进的革命者，后因政 治原因入狱。最后与人决斗受伤而去逝。在其决斗前 几天, 写下了其主要研究成果, 直到40年后, 其成果 才被世人所接受。后有著名数学家评价说：“伽罗瓦 的去逝使数学的发展推迟了几十年”。从伽罗瓦的工 作以后，代数学结束了解方程的历史，进入研究新的 数学对象——群、环、域的抽象代数的发展阶段。
定义7.2 设S上有n元运算*（n为正整数），S′S, 若对任意 a1, a2, „, an∈S′，有*(a1, a2, „, an)∈S′, 则称S上的*运算对S′封闭，或称为S′在* 下是封闭的。
7.2 代数结构及其性质
练习2 A={x｜x=2n，n∈N}，问<A，>是否封 闭，<A，+>，<A，/>呢？
多独创性成果, 但大都未受重视, 贫病而逝。 去逝后3天, 柏林大学寄来教授聘书, 让后人 叹息！后人曾评价说：“他工作不是为自己， 而是为他热爱的科学”。2001，在阿贝尔诞生
200周年之际，挪威王国政府宣布，设立面向
国际的“阿贝尔数学奖”。
Niels Abel
A statue of Abel in Oslo
在P(A)上并∪运算的结果均在P(A)中
7.2 代数结构及其性质
7.2.1 代数运算
例7.1 (2) A={1,3,9,7},A上模10乘法*运算表如下
* 1 1 1 3 3 9 9 7 7
3
9 7
3
9 7
9
7 1
7
1 3
1
3 9
B={0,1,2,3},B上模4加法+运算表如下
+ 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2
解
2r，2s∈A，2r 2s=2r+s∈A（r+s∈N）
∴<A， >运算封闭 2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭 2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
7.2 代数结构及其性质
对于A上两种二元运算ο 和*：
若对于任意a, b∈A有：aο b=bο a, 则称ο 在A 上是可交换的(或称ο 满足交换律)。
Evariste Galois
A drawing done in 1848 from memory by Evariste's brother.