专题2电磁感应中的动力学、能量和动量问题电磁感应中的动力学问题1.用“四步法”分析电磁感应中的动力学问题解决电磁感应中的动力学问题的一般思路是“先电后力”，具体思路如下：2.电磁感应中的动力学临界问题(1)解决这类问题的关键是通过受力情况和运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度为最大值或最小值的条件。

【例1】如图1所示，足够长的平行金属导轨MN和PQ表面粗糙，与水平面间的夹角为θ＝37°(sin 37°＝0.6)，间距为1 m。

垂直于导轨平面向上的匀强磁场的磁感应强度的大小为4 T，P、M间所接电阻的阻值为8 Ω。

质量为2 kg的金属杆ab垂直导轨放置，不计杆与导轨的电阻，杆与导轨间的动摩擦因数为0.25。

金属杆ab在沿导轨向下且与杆垂直的恒力F作用下，由静止开始运动，杆的最终速度为8 m/s，取g＝10 m/s2，求：图1(1)当金属杆的速度为4 m/s 时，金属杆的加速度大小；(2)当金属杆沿导轨的位移为6 m 时，通过金属杆的电荷量。

解析 (1)对金属杆ab 应用牛顿第二定律，有F ＋mg sin θ－F 安－f ＝ma ，f ＝μF N ，F N ＝mg cos θab 杆所受安培力大小为F 安＝BILab 杆切割磁感线产生的感应电动势为E ＝BL v由闭合电路欧姆定律可知I ＝E R 整理得F ＋mg sin θ－B 2L 2R v －μmg cos θ＝ma代入v m ＝8 m/s 时a ＝0，解得F ＝8 N代入v ＝4 m/s 及F ＝8 N ，解得a ＝4 m/s 2。

(2)设通过回路横截面的电荷量为q ，则q ＝I －t回路中的平均电流强度为I －＝E －R 回路中产生的平均感应电动势为E －＝ΔΦt 回路中的磁通量变化量为ΔΦ＝BLx ，联立解得q ＝3 C 。

答案 (1)4 m/s 2 (2)3 C1.如图2所示，足够长的粗糙绝缘斜面与水平面成θ＝37°角放置，在斜面上虚线aa ′和bb ′与斜面底边平行，在aa ′、bb ′围成的区域中有垂直斜面向上的有界匀强磁场，磁感应强度为B ＝1 T ；现有一质量为m ＝10 g ，总电阻R ＝1 Ω、边长d ＝0.1 m 的正方形金属线圈MNQP ，让PQ 边与斜面底边平行，从斜面上端由静止释放，线圈刚好匀速穿过整个磁场区域。

已知线圈与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，(取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：图2(1)线圈进入磁场区域时的速度大小；(2)线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离；(3)整个线圈穿过磁场的过程中，线圈上产生的焦耳热。

解析 (1)对线圈受力分析，根据平衡条件得F 安＋μmg cos θ＝mg sin θ，F 安＝BId ，I ＝E R ，E ＝Bd v联立并代入数据解得v ＝2 m/s 。

(2)线圈进入磁场前做匀加速运动，根据牛顿第二定律得a ＝mg sin θ－μmg cos θm＝2 m/s 2 线圈释放时，PQ 边到bb ′的距离L ＝v 22a ＝222×2m ＝1 m (3)由于线圈刚好匀速穿过磁场，则磁场宽度等于d ＝0.1 m ，Q ＝W 安＝F 安·2d代入数据解得Q ＝4×10－3 J 。

答案 (1)2 m/s (2)1 m (3)4×10－3 J2.(2020·广东模拟)如图3甲，两根足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面内，导轨间距为1.0 m ，左端连接阻值R ＝4.0 Ω的电阻；匀强磁场磁感应强度B ＝0.5 T 、方向垂直导轨所在平面向下；质量m ＝0.2 kg 、长度L ＝1.0 m 、电阻r ＝1.0 Ω的金属杆置于导轨上，向右运动并与导轨始终保持垂直且接触良好。

t ＝0时对杆施加一平行于导轨方向的外力F ，杆运动的v －t 图象如图乙所示。

其余电阻不计。

求：图3(1)从t＝0开始，金属杆运动距离为5 m时电阻R两端的电压；(2)在0～3.0 s内，外力F大小随时间t变化的关系式。

解析(1)根据v－t图象可知金属杆做匀减速直线运动时间Δt＝3 s，t＝0 s时杆速度为v0＝6 m/s，由运动学公式得其加速度大小a＝v0－0Δt设杆运动了5 m时速度为v1，则v20－v21＝2as1此时，金属杆产生的感应电动势E1＝BL v1回路中产生的电流I1＝E1R＋r电阻R两端的电压U＝I1R联立以上几式可得U＝1.6 V。

(2)由t＝0时BIL＜ma，可分析判断出外力F的方向与v0反向。

金属杆做匀减速直线运动，由牛顿第二定律有F＋BIL＝ma设在t时刻金属杆的速度为v，杆的电动势为E，回路电流为I，则v＝v0－at，又E＝BL v，I＝ER＋r联立以上几式可得F＝0.1＋0.1t。

答案(1)1.6 V(2)F＝0.1＋0.1t电磁感应中的能量问题1.电磁感应中的能量转化2.求解焦耳热Q的三种方法3.动量守恒定律在电磁感应现象中的应用在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律求解比较方便。

【例2】(2019·4月浙江选考，22)如图4所示，倾角θ＝37°、间距l＝0.1 m的足够长金属导轨底端接有阻值R＝0.1 Ω的电阻，质量m＝0.1 kg的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨间的动摩擦因数μ＝0.45。

建立原点位于底端、方向沿导轨向上的坐标轴x。

在0.2 m≤x≤0.8 m区间有垂直导轨平面向上的匀强磁场。

从t ＝0时刻起，棒ab在沿x轴正方向的外力F作用下，从x＝0处由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x满足v＝kx(可导出a＝k v)，k＝5 s－1。

当棒ab运动至x1＝0.2 m处时，电阻R消耗的电功率P＝0.12 W，运动至x2＝0.8 m处时撤去外力F，此后棒ab将继续运动，最终返回至x＝0处。

棒ab始终保持与导轨垂直，不计其他电阻，求：(提示：可以用F－x图象下的“面积”代表力F做的功，sin 37°＝0.6，g取10 m/s2)图4(1)磁感应强度B的大小；(2)外力F随位移x变化的关系式；(3)在棒ab 整个运动过程中，电阻R 产生的焦耳热Q 。

解析 (1)在x 1＝0.2 m 处时，电阻R 消耗的电功率P ＝（Bl v ）2R此时v ＝kx ＝1 m/s解得B ＝PR （l v ）2＝305 T (2)在无磁场区间0≤x ＜0.2 m 内，有a ＝5 s －1×v ＝25 s －2×xF ＝25 s －2×xm ＋μmg cos θ＋mg sin θ＝(0.96＋2.5x ) N在有磁场区间0.2 m ≤x ≤0.8 m 内，有F A ＝（Bl ）2v R＝0.6x N F ＝(0.96＋2.5x ＋0.6x ) N ＝(0.96＋3.1x ) N(3)上升过程中克服安培力做的功(梯形面积)W A1＝0.6 N 2(x 1＋x 2)(x 2－x 1)＝0.18 J撤去外力后，设棒ab 上升的最大距离为s ，再次进入磁场时的速度为v ′，由动能定理有(mg sin θ＋μmg cos θ)s ＝12m v 2(mg sin θ－μmg cos θ)s ＝12m v ′2解得v ′＝2 m/s由于mg sin θ－μmg cos θ－（Bl ）2v ′R＝0 故棒ab 再次进入磁场后做匀速运动下降过程中克服安培力做的功W A2＝（Bl）2v′R(x2－x1)＝0.144 JQ＝W A1＋W A2＝0.324 J答案(1)305T(2)F＝(0.96＋3.1x) N(3)0.324 J1.(多选)(2020·天津一中模拟)如图5所示，固定在水平面上的光滑平行导轨间距为L，右端接有阻值为R的电阻，空间存在方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。

一质量为m、接入电路的电阻为r的导体棒ab与左端固定的弹簧相连并垂直导轨放置。

初始时刻，弹簧处于自然长度。

现给导体棒水平向右的初速度v0，导体棒开始沿导轨往复运动直至停止，运动过程中导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触，此过程中弹簧一直在弹性限度内。

若导体棒电阻r与导轨右端电阻R的阻值关系为R＝2r，不计导轨电阻，则下列说法正确的是()图5A.导体棒开始运动时，导体棒受到的安培力方向水平向左B.导体棒开始运动时，初始时刻导体棒两端的电压为13BL v0C.导体棒开始运动后速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为12m v2D.导体棒整个运动过程中电阻R上产生的焦耳热为13m v2解析导体棒开始运动时，由右手定则判断可知ab中产生的感应电流方向为a→b，由左手定则判断可知ab棒受到的安培力水平向左，选项A正确；导体棒开始运动时，ab棒产生的感应电势为E＝BL v0，由于R＝2r，所以导体捧两端的电压为路端电压U＝23E＝23BL v0，选项B错误；由于导体棒运动过程中产生电能，所以导体棒开始运动后速度第一次为零时，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能小于12m v 2，选项C错误；导体棒最终会停在初始位置，在导体棒整个运动过程中，电阻R上产生的焦耳热Q＝23×12m v2＝13m v2，选项D正确。

答案AD2.(2019·石家庄模拟)相距为L＝2 m的足够长的金属直角导轨如图6甲所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面。

质量均为m＝0.1 kg的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，导轨电阻不计，回路中ab、cd电阻分别为R1＝0.6 Ω，R2＝0.4 Ω。

整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50 T、方向竖直向上的匀强磁场中。

当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动。

测得拉力F与时间t的关系如图乙所示。

g取10 m/s2，求：图6(1)ab杆的加速度a；(2)当cd杆达到最大速度时ab杆的速度大小；(3)若从开始到cd杆达到最大速度的过程中拉力F做了5.2 J的功，求该过程中ab杆所产生的焦耳热。

解析(1)由图乙可知，t＝0时，F＝1.5 N对ab杆：F－μmg＝ma代入数据得a＝10 m/s2。

(2)cd 杆受力情况如图(从d 向c 看)，当cd 杆所受重力与滑动摩擦力大小相等时，速度最大，即mg ＝μF N又F N ＝F 安安培力F 安＝BIL感应电流I ＝E R 1＋R 2＝BL v R 1＋R 2由以上几式解得v ＝2 m/s 。