且由频率分布直方图估计 ， ，
又 ，
所以事件 的概率估计为 ．。。。。。。。6分
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为 ， ，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为 ，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为 元．
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
辽宁省六校协作体2020年上学期高三数学第一次联考试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
1-8: A BCC DBDB
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9：AB；10：BD ；11：BD；12：AC
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13.0.414.－280
cos(2α－ )＝－ cos 2α＋ sin 2α＝－ .。。。。。。。10分
18.解：（1） ，所以 ，
所以 ，检验，此时 ， ，
所以 ， 为偶函数；。。。。。。。4分
（2） ，令 ，所以，
设 在 上有最小值，所以 ，m<0；。。。。8分
（3） ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ．
（1） 即m≥0，解集为R；
因为
递增， 的值域为
（i）当 时， 在 上单调递增，
又 ，
所以 在[1,e]上的值域为 ,
所以
即 ，
（ii）当 时，因为 时， 递减， 时， 递增，且 ，
所以只需
即 ，所以
（iii）当 时，因为 在 上单调递减，且 ，
所以不合题意.
综合以上，实数 的取值范围是 .。。。。。12
所以函数的单调递减区间为[ ]（k∈Z）．。。。。6分
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移 个单位，
得到函数g（x）＝2cos（2x ）+1
的图象，
由于x∈ ，所以 ，故 ，
所以0≤g（x）≤3，故函数 值域为[0，3]．。。。。。12分
21.解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，
质量指标值 的频率为 ，
质量指标值 的频率为 ，
故质量指标值M的中位数估计值为 ．。。。。。12分
22.解：（I）
(1) 时， 递增， ,
(2) 时， 递减， ，
(3) 时， 时 递减， 时 递增，
所以
综上，当 ；
当
当 。。。。。。。。。。。6分
（II）因为对于任意的 都存在唯一的 使得 成立,
所以 的值域是 的值域的子集.
15. ；16.①（－∞，0]②（－∞，2）∪（4，＋∞）
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.解：(1)sin(α＋ )＝－ ，α∈(0，π)
⇒cosα＝－ ，α∈(0，π)⇒sinα＝ .
＝ ＝－ .。。。。5分
(2)∵cosα＝－ ，sinα＝ ⇒sin 2α＝－ ，cos 2α＝－ .
（2） 即 ，解集为 ．…….12分.
19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件A，
；
答：该校最终选地理的学生为 ；.。。。。。。。6分
（2）
①
② ， ，
， ，
X
0
1
2
3
P
．答：数学期望为 ．。。。。12分
20.解：（Ⅰ）函数 1﹣cos（2x ） ．
所以函数的最小正周期为 ， Nhomakorabea令 （k∈Z），整理得 （k∈Z），