数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“{1,2}m ∈”是“ln 1m <”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2．函数1()lg 2x f x x =-的零点所在区间为（ ）A ． (0,1)B ．(1,2)C ． (2,3)D ． (3,4)3．某医院拟派甲、乙、丙、丁四位专家到3所乡镇卫生院进行对口支援，若每所乡镇卫生院至少派1位专家，每位专家对口支援一所医院，则选派方案有（ ） A.18种B.24种C.36种D.48种4．若R x ∃∈，使得(2)a x x ≤-成立，则实数a 的最大值为（ ）A．B ．2C ．1D ．05．已知cos (0)()(1)1(0)x x f x f x x π≤⎧=⎨-+>⎩，则44()()33f f +-的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．0D ．16．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A ．sin ||()2cos x f x x =+ B ．sin ln ||()2cos x x f x x⋅=+C ．cos ln ||()2cos x x f x x ⋅=+ D ．cos ()xf x x=7．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如下：设得分的中位数e m ，众数0m ，平均数x ，下列关系正确的是（ ）A ．0e m m x ==B ．0e m m x =<C ．0e m m x <<D ．0e m m x <<8．已知函数()f x 的定义域为R ，且(1)f x +是偶函数，(1)f x -是奇函数，()f x 在[1,1]-上单调递增，则（ ） A ．(0)(2020)(2019)f f f >> B ．(0)(2019)(2020)f f f >> C ．(2020)(2019)(0)f f f >>D ．(2020)(0)(2019)f f f >>二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．设全集R U =，集合2{|,R}A y y x x -==∈，集合2{|20,R}B x x x x =+-<∈，则（ ）A ．A ∩B=(0,1)B ．(2,)A B =-+∞C ．A ∩B=(0,+∞) D ． A ∪B=R10．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫- ⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ）A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．()g x 为奇函数 D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 11．下列说法正确的是（ ）A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数a 后，方差也变为原来的a 倍；B.若四条线段的长度分别是1，3，5，7，从中任取3条，则这3条线段能够成三角形的概率为14； C.线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；D.设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率为23.12．定义：若函数()F x 在区间[],a b 上的值域为[],a b ，则称[],a b 是函数()F x 的“完美区间”．另外，定义[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-．则（ ）A ．[0，1]是()f x 的一个“完美区间”B ．1122⎡-+⎢⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知随机变量ε服从正态分布()24,N σ，若()20.3P ε<=，则6(2)P ε<<=______． 14． 72x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为__________.15．若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极小值为 ．16．已知函数22,,(),.x x a f x x x a ⎧≤=⎨>⎩①若1a =，则不等式()1f x ≤的解集为__________；②若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则实数a 的取值范围是__________.（本题第一个空2分，第二个空3分）四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．(10分)已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)．(1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值；(2)求cos(2α－3π4)的值．18．（本题12分）设函数()x x f x a mb =+，其中,,a m b ∈R ．（1）若2a =，12b =且()f x 为R 上偶函数，求实数m 的值；（2）若4a =，2b =且()f x 在R 上有最小值，求实数m 的取值范围； （3）() 0,1a ∈，1b >，解关于x 的不等式()0f x >． 19．（本题12分）“新高考方案：312++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门。

某校根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45．（1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X ．①求随机变量2X=的概率； ②求X 的概率分布表以及数学期望．20.已知函数()22324f x sin x cos x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求f （x ）的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）在区间44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的值域．21. 某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表：质量指标值M80M <80110M ≤<110M ≥等级三等品二等品一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”， 试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润； （3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．22．已知函数：()()21ln ,e 12x f x x a x a g x x =--=-- （I ）当[]1,e x ∈时，求()f x 的最小值；（II ）对于任意的[]10,1x ∈都存在唯一的[]21,e x ∈使得()()12g x f x =，求实数a 的取值范围．数学试题答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

1-8: A B C C D B D B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

9：AB ； 10：BD ； 11：BD ； 12：AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

13. 0.4 14. －28015. 1-； 16. ①（－∞，0] ②（－∞，2）∪（4，＋∞） 四、解答题：共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.解： (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13.。

5分(2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210.。

10分 18.解：（1）()122xx f x m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()()1112122f f m m =+=-=+，所以1m =，检验，此时()122x xf x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()122xx f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以()()f x f x -=，()f x 为偶函数；。

4分 （2）()42x x f x m =+，令20x t =>，所以，设()2g t t mt =+在()0,+∞上有最小值，所以02m->，m<0；。

8分 （3）()0x xf x a mb =+>，所以x x a mb >-，所以xx x a a m b b ⎛⎫=>- ⎪⎝⎭，因为()0,1a ∈，1b >，所以()0,1ab ∈．（1）0m -≤即m ≥0，解集为R ；（2）0m ->即0m <，解集为(),log a b m ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．…….12分.19.解：（1）该校最终选地理的学生为事件A ，()32147434510P A =⨯+⨯=；答：该校最终选地理的学生为710；.。

6分 （2）①()22373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②()33270101000P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()121373189110101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()22373441210101000P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33373433101000P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()1+2310001000100010E X =⨯⨯+⨯=．答：数学期望为10．。

12分20.解：（Ⅰ）函数()2224f x sin x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭1﹣cos （2x 2π-）22212216x x sin x cos x π⎛⎫=-+=++ ⎪⎝⎭．所以函数的最小正周期为22T ππ==，令2226k x k ππππ≤+≤+（k ∈Z ），整理得1212k x k π5ππ-≤≤π+（k ∈Z ）， 所以函数的单调递减区间为[51212k k ππππ-+，]（k ∈Z ）．。