期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。

同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。

如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。

这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。

解析函数有着一些特殊的性质，一个复变函数可以表示成为两个二元函数的组合f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ），当复变函数可微的时候，这两个二元函数u （x ，y ），v （x ，y ）也要可微，它还要满足柯西—黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂，xv -y u ∂∂=∂∂。

我们对初等解析函数的认识过程：借助实变函数的符号e ，我们定义了指数函数f （z ）=e z ，因为z 的i 次方我们是知道的，所以接受此概念对我们而言，自然而然就接受了。

我们又由e 的iy （y 为实数）isiny cosy e iy +=，isiny -cosy e -iy =推出siny=i 2-ee -iy iy π这样的形式，如果将y 替换成为复数z 按照上面形式，以后人为定义复变函数sinz=i 2-e e -iziz π，这是一次推广，就像数域的扩张，实数是复数一个子集，定义域从实数推广到复数，恰似一道原本合拢的窗帘，现在将它拉开了，于是，一种静谧的美扑面而来。

正如上所言，双曲函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数在定义域推广以后在复数的世界生根发芽。

至此，解析函数的家族不断扩大。

我们对复变函数的了解也由浅而深。

解析函数具有无穷可微性及其他等等奇妙的性质，而这些性质会在实变函数和复变函数的比较中一一例举出来，复变函数函数向我们展示其奇异雄伟的一面。

复变函数积分的定义与实变函数积分的定义如出一帜，我们将一条有向曲线C 切割开来，分作许多小段，在每一个小段任意取一个点ζ（k ），做成和数S （n ）=∑∆=n 1k k z k ）（ζ，我们将曲线无限细分使得弧段长度的最大值趋于0时，S （n ）会向着一个数J 不断靠近，我们称J 为f （z ）沿C 的积分。

根据积分的定义，我们得到了求复变函数积分的第一个方法，我们将复变函数积分变成了两个实变函数第二类曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdx udy i vdy udx dz z f )(，一切是如此神奇，就像造物在虚空中说：“要有光”，于是就有了光，我们获得这一方法，然后跃跃欲试。

在我们涨红了脸，运用第一种方法的时候，参数方程法不期而至：θθβαd z z f dz z ⎰⎰=C )(')()(f 。

我们初闻到春日淡淡香味，一抬头，已经来到了夏天，馥郁的气息盈满整个空间，数学往往以更简单轻便给我们以惊喜，于是我们欢喜，讴歌数学的巧妙。

复变函数积分的性质，由一些函数的线性组合组成的函数沿曲线C 的积分等于这些函数沿曲线C 的积分的线性组合，函数f(z)沿曲线C 的积分可以表示成为该函数沿数个曲线C 1,C 2,...,C n 积分的和。

积分估值，积分的模长小于等于函数值的最大模长与曲线C 长度的乘积，换成公式形式：⎰⎰⎰=≤≤C CML dz M dz z f dz z f )()(C 。

柯西积分定理，函数f （z ）在单连通区域D 解析，则f （z ）沿D 内任意周线C 的积分值为0，数学形式⎰=C 0)(dz z f 。

看上去这么简单的一句话，实际上并不证明，古莎先证明了周线为三角形的情况，又在此基础上证明了多边形（将多边形进行分割，使之成为许多正三角形）的情况，对于曲线，他采用用多变形去靠近曲线的方法。

古莎大师在不添加附加条件的情况下证明了柯西积分定理，人类的智慧在这里得到充分的展示，我想起很久以前古老中国的割圆法，古代希腊的穷举法，一时心宽神怡，这是前人如同遥遥星河中恒星闪耀的智慧。

柯西积分定理的推广，除了上述情况，如果C 是一条周线，D 为C 的内部，函数f(z)在由C+D 组成的闭区间上解析，则f （z ）沿C 的积分值为0;如果f （z ）在D 内解析，在D+C 上连续，仍有f （z ）沿C 的积分值为0，这个的证明的思想是由内部的周线靠近边界线，再根据函数的连续性。

当周线本身发生变化，比如变化成复周线时，通过将内部的周线以往复的两条线段的连接的方式，我们将这个区域分成了两个单连通区域，柯西积分由此得到推广。

解析函数中的“积分上限函数”，因为解析函数的积分值只与起点和终点有关，对于一个解析f （z ），在给出一个起点Z 0以后，再任意给出另外一个点Z ，f （z ）沿任意以Z 0为起点Z 为终点的曲线积分，所得积分值为一个确定的数，这样我们就可以确定一个以z为自变量的函数F （z ）=⎰Z Z )(0dz z f 。

其实在这里，我们已经得到一个求f(z)原函数的方法，这样就有类似于实变函数中牛顿-莱布尼茨的定理，这为我们求积分提供了便利。

柯西积分公式，在讨论复变函数沿复曲线积分的时候，我们知道f （z ）沿周线C 的积分等于f （z ）沿C 围成的区域中某圆周线的积分，这样我们就能证明柯西积分公式)(2)(C z if dz Z f π=-⎰ξξ，柯西积分的特殊形式是解析函数平均值定理θθd R Z f Z f e i ⎰+=ππ20)(21)(。

解析函数具有无穷可微性，若f （z ）在区域D 内解析，则f （z ）在区域D 内有各阶导数即它的各阶导数都是解析，并且可以通过公式求其具体的值ζζζd f i n z C n n z ⎰-+=)(f 1)(2!)(π）（。

这是通过归纳法来做的，因为n+1阶导数是定义在第n 阶导数的基础上。

而由解析函数的无穷可微性，摩勒拉定理得到充分证明:若函数f （z ）在单连通区域D 内连续，且对于D 内任一周线C ，有⎰=C 0dz z f ）（，则f （z ）在D 内连续。

柯西不等式R n n R M n a )(!)(f )(≤，其中M(R)=max )(z f ，它的证明应用了之前的积分估值，应用了刚才的柯西不等式。

由解析函数函数有界，可以证明其在任意一点导数值为0：0)()(f (1)→≤R R M z ，我们得到刘维尔定理，从而一旦一个在整个复平面上解析的解析函数有界，那么它必然为常函数，然后就是应用反证法证明代数基本定理：多项式一定在复数域上存在解。

这上面的证明一气呵成，如河奔入海，又如水银泻地，无懈可击。

复变函数微积分与实变函数微积分······永恒的对手或者同伴？1·复变函数微积分与实变函数微积分的联系我们知道，在复变函数中，导数的定义与实变函数形式一模一样，如果单纯将z 看做一个字符，不考虑其所在区域，那么我们会觉得复变函数导数异常熟悉，在实变函数中的记忆纷至沓来，z 以任意方式趋于z （0），在区域内处处可导的概念是那么的亲切。

有了导数，微分也随之出现，可导与可微的等价，我们又仿照实变函数，如果实变函数可微，Δf=f'(x(0))+o(Δx),如果复变函数可微，Δf =f （Z 0）+o （z ∆）。

复变函数微分与实变函数微分宛如双子座，它们完美契合，数学的对称，和谐发挥得淋漓尽致。

复变函数微分的性质也与实变函数保持了高度的一致性，常函数求导等于0，多个可导函数的线性组合求导等于它们求导以后的线性组合：d(kf(z)+hg(z))=kdf(z)+hdg(z),以及df(z)g(z)=g(z)df(z)+f(z)dg(z)，(f(g(z)))`=f`(g(z))g`(z)dz 。

面对这样的一致，我们欣赏无比，当我们验算，我们会发现这一切无懈可击，巧合？这是数学无限神奇。

复变函数的积分与实变函数微分，我们仔细看复变函数积分的定义，我们会发现，咦，它怎么会和我们的实变函数第二型曲线积分那么相似。

视角拉回到复变函数的定义域，我们看到积分曲线的起点和终点静静地躺在复平面上，如同河床上安静的鹅卵石，我们沿着一条连接起点和终点的C曲线对函数积分，曲线蜿蜒如同在静默大地上奔走的河流，我们明悟了复数函数与实数函数的差别，复变函数的自变量z本身就是个二元函数呀，Z=x+iy，于是这一切瞬间变得理所当然。

而且，复变函数积分不仅是长得像实变函数第二型曲线积分而已，对于复变函数积分的求法，前面已经提到，复变函数积分可以分开成为求两个实变函数第二型曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdxudyivdyudxdzzf)(。

我们对复变函数积分的性质进行推广，尽管早有意料，尽管这种猜想过程看上去有些多余和没有必要，但是结果最终揭晓，我们还是会欢呼：这是完美的契合！复变函数积分仍然安静地陪伴在实变函数积分的身边，安静凝视，不离不弃，复变函数函数中的可积函数的线性组合积分等于复变函数函数积分的线性组合：⎰⎰⎰+=+C C Cdz zghdzzfkdzzhgzkf)()())()((，这是复变函数对实变函数的承诺。

实变函数中在求某些极限值，可以应用若比达法则，复变函数也可以应用若比达法则吗？可以，在复变函数中，对于无穷比无穷型，零比零型，零乘无穷型，若比达法则仍然是通用的，正所谓定义域已非实数域，诺毕达依旧诺毕达。