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与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等 与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 等,距圆心较近的弦较长 不相等,距球心较近的面积较大 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0 )2 = r2 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
人教新课标A版 数学选修2-2
乐
复习
1.什么是归纳推理? 部分
特殊 2.归纳推理的一般模式:
整体 一般
S1具有P, S2 具有P, …
所以A类对象具有P
Sn 具有P（S1，S2， n 是A类事物的对象） …S
二、除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶
圆
弦 直径 周长 面积
球
截面圆 大圆 表面积 体积
利用圆的性质类比得出球的性质 圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR 圆的面积 S =πR 2 圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR 2 球的体积 V = πR 3 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
' ' ' ' ' '
所以B类对象具有性质d
'
类比推理
类比推理基础 类比推理的作用
由特殊到特殊的推理
以已知的、旧的知识为基础
注意
推测新的结果，具有发现 的功能． 类比推理的结论不一定成立
比较两个推理： 1、归纳推理
合 情 推 理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.
s s s s
2 2 1 2 2
2 3
变式练习：在三角形ABC中有结论： AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中 有 . P B C S1 Ｃ S2 S3 △PAB的面积为S
A
Ａ
Ｂ
S1 S2 S3 S
练习2. （2004广东，15）
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
温度适合生物的生存
有生命存在
可能有生命存在
以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之 间在某些方面的相似或相同,推演出它们在 其它方面也相似或相同,像这样的推理通常 称为类比推理.(简称:类比法)
注：（1）类比推理是由一类对象特征到另一类对象特 征的推理。 （2）类比推理的一般模式为:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a ,b ,c , (a,b,c与a ,b ,c 相似或相同)
和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
3、火星上是否存在生命？
3、火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
(1) a=ba+c=b+c;
猜想不等式的性质：
(1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(3) a=ba2=b2;
(2) a＞b ac＞bc;
(3) a＞ba2＞b2;
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 运算结果 实数的加法 若a,b∈R,则a+b∈R 实数的乘法 若a,b∈R,则ab∈R ab=ba (ab)c=a(bc) 乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a a· 1=a
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: PA PB PC VP ABC
B B
B
A
B
C
P
C
A
P
图(1)
A 图(2)
A
练习3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的 高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为 pb pc pa,pb,pc,我们可以得到结论: pa
例题4：类比平面内直角三角形的勾股定理，
B
P
s2
M
试给出空间中四面体性质的猜想。
c
a
C
分析：
c
b
A
s1 a
D s3
E
b
△PEF的面积为S
2 2 ？ 1 2 2
F
2 3
c两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90° ∠C＝90° 2条直角边a，b和1条斜边c 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S
a+b=b+a 运算律 (交换律和 (a+b)+c=a+(b+c) 结合律) 逆运算 加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
单位元
a+0=a
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定 长的点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点 的集合.
----------------------------------------------------------------.
方程.
五、课堂小结：
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：
原问题

原问题解法

类比
类比问题
类比问题的解法
猜想

2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。
c
S1
P
S2
下面证明猜想是否成立：
a SD
3
b
s s s s
2
E
M
证明：设ED a, DF b, DP c,
2 2
F
△PEF的面积为S
2 1
2 2
2 3
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
1 1 1 2 2 由题知, EF a c , s3 ac EF DM a c DM 2 2 2 ac DM , PM DM 2 PD 2 ( ac )2 b 2 a2 c2 2 a2 c2 1 2 2 ac 1 2 S EF PM (a c ) [( )2 b 2 ] 4 2 a2 c2 1 2 2 a 2c 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 (a c ) ( 2 2 b ) a c a b b c s 2 s 2 s 2 1 2 3 4 a c 4 4 4
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
附加题(2001上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 设圆的方程为① 一个特例,推广的命题为：---------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
2、类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果； 具有发现的功能; 结论不一定成立.
几何中常见的类比对象
平面几何 点 线 圆 三角形
立体几何
线 面 球 四面体（各面均为三角形）
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等
数
有限
相等
例题解析：
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
ha
平面上 图 形 结 论
B A P pb pc pa

hb
A

hc
1
试通过类比,写出在空间中的类似结论.
空间中
P B C C D
pa pb pc 1 ha hb hc
pa pb pc pd 1 ha hb hc hd
小结
☞
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想