第三章基本知识小结1.牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。

2•动量定理适用于惯性系、质点、质点系。

导数形式： F dpdt微分形式： Fdt dp 积分形式：1( Fdt) p（注意分量式的运用）3.动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。

若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。

即若 F 外0,贝U p 恒矢量。

（注意分量式的运用）4•在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。

*在直线加速参考系中：fma 0*Q*在转动参考系中：f c m r, f k 2mv'5.质心和质心运动定理⑴ mr c m i r i mv c m i v i ma c m i a i⑵ F ma c（注意分量式的运用）矢量式： Fdv ma m —— dt2rm ——2 dt 2分量式:F xma x , F yma y , F z ma z (直角坐标) dvma m ——dt2F n ma n m 二（弧坐标）质量为2kg 的质点的运动学方程为r (6t 2 1)i? (3t 2 3t 1) ?(单位：米，秒)，求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。

运动。

F=(242+122) 1/2=12 ,5 N,力与x 轴之间夹角为:arctgF y / F x arctg 0.5 26 34'数，证明作用于质点的合力总指向原点。

桌面上叠放着两块木板，质量各为m ,m 2,如图所示，m 和桌面间的摩擦系数为卩2,数为卩1,问沿水平方向用多大的力才能把下面的木板抽出来。

解：以地为参考系，隔离 m 、m 2，其受力与运动情况如图所示，证明：••• a d 2r /dt 22(acos t? bsin t?)2rF ma2m r ,•作用于质点的合力总指向原点。

3 13 2m■ ------- *mF题图其中，N'=N 1,f 1‘=f 1 =3 1 N ,f 2 = :3 N2，选图示坐标系 o-xy ，对m,m 2分别应用牛顿一疋律,1N 1 耳印N 1 mg 0F 1N 1 2N 2 m 2a 2N 2 N 1 m ?g 0解方程组，得 a 11g a 2F mg2me2m ?g /m 2要把木板从下面抽出来, 必须满足 a S a1 ，即mg2my2m 2g m 2 1gF1 2m 1 m 2 g有解: •/ a d 2r /dt 2 12? 6?, F ma 24? 12?为一与时间无关的恒矢量, •••质点受恒力而质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为:r a cos t i? bsint ?, a,b, 3为正常m 和m 间的摩擦系m 、1mgN 2Fa 2在图示的装置中两物体的质量各为 m,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为□，求在力下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离m,m 2,受力及运动情况如图示， 其中：f i =u 2 =卩mg,f 2=u Nb=卩（N i +mg ）=卩（m i +m ）g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律：m 1 m 2在图示的装置中，物体A,B,C 的质量各为 m,m 2,m 3，且两两不相等.若物体A,B 与桌面间的摩擦系数为卩， 求三个物体的加速度及绳内的张力，不计绳和滑轮质量，不计轴承摩擦，绳不可伸长。

解：以地为参考系，隔离A,B,C ,受力及运动情况如图示， 其中：「=卩N=卩mg, f 2= N 2=卩m>g , T'=2T ,由于A 的位移加B 的位移除2等于C 的位移，所以（a 1+a 2） /2=a 3.对A,B,C 分别在其加速度方向上应用牛顿第二定律：T m-i g m 1a 1 ① T m 2g m 2a 2 ②m 3g 2T ms® a 2)/2 ③①,②，③联立，可求得：N 2a 1 2m 2m 3 (1 )(g m 2) m 3 4m 1m 2a 2 2gm 3(1 ) (m 1 m 2) m 34mim 2a s (m 1 m 2)m 3(1 )(叶 m 2)m 3 4m 1m 2Nf 1 -** Tmga 1 -a smgt * * f 2mgaaF 的作用T m 1g m 1a ① Fm 1g (m 1 m 2)g Tm 2a ②①+②可求得：a F 2 m1g gm 1 m 2将a 代入①中，可求得:m 1(F 2 mp)跳伞运动员初张伞时的速度为V。

，阻力大小与速度平方成正比：av2，人伞总质量为m求v v(t)的函数。

提示：积分时可利用式V2解，mg av2dvm dT，dv dt2mg av mmg*dv dt mg1av2/me) m设2amg'■ mgdv dv2(1v)(1 v)ln(1—)v2 gt C常量，上式写成dv^r gdt,1 2vgdt,d (1v)d(1v)gdt,2 (1v)2(1v)代入, 叽v)v2gt ln(1 v°)1 v0)2 gt (e g1v01)2 gt ,1v —1v02 gt (e g1v01)1v0(1 v)(1 v o)(1 v)(1积分9km,将要建设的京沪列车时速北京设有供实验用的高速列车环形铁路，回转半径为上作此项列车实验且欲使铁轨不受侧压力，外轨应比内轨高多少设轨距解：以地为参考系，把车厢视为质点，受力及运动情况如图示: 车厢速度v=250km/h=s，250km/h，若在环路h加速度a=v2/R ；设轨矩为I，外轨比内轨高h,有cos . l2 h2/l,sin h/l 选图示坐标o-xy，对车箱应用牛顿第二定律：N cos N.I2 h2 /l mg ①，N sin Nh/I mv2 / R ②①/ ②得：、丨2 h2 /h gR/v2，两边平方并整理，可求得h：h v2l/、v4 g2R2 69.42 1.435/ .69.44 9.82 900020.0782m 7.8cm汽车质量为x10kN,在半径为100m 的水平圆形弯道上行驶，公路内外侧倾斜15。

，沿公路取自然坐标,汽车运动学方程为 s=+20t (m)，自t=5s 开始匀速运动，问公路面作用于汽车与前进方向垂直的摩擦力是 由公路内侧指向外侧还是由外侧直向内侧解：以地为参考系，把汽车视为质点，受力及运动情况如图示: 2 2v=ds/dt=+20 , v| t=5 =x 5 +20=s , a n =v/R=100=33N B = N , NB'= 1500 N , N A = N , N AB = 577 N.设摩擦力f 方向指向外侧，取图示坐标o-xy , 应用牛顿第二定律 N cos f sin mgN cos mg f sin ①N sin f cos ma nN sin ma n f cos②②/①得： tg(manf cos )/(mg f sin )mgtg f sin tg ma nf cos , fgtg a n 9.8tg1533 30.43 0, 侧。

m(gtg a .) cos sin tgf 0,说明摩擦力方向与我们事先假设方向相反，指向内F A =，圆柱B 重1000N,半径 圆柱A 重500N,半径 求A 、B 间的压力及 A B 柱与槽壁和槽底间的压力。

R=，都放置在宽度 L=的槽内，各接触点都是光滑的,B,其受力情况如图所示, 选图示坐标, 运用质点平衡方程，有N AB sin N B ' m B gN B 0 N AB cos(1) 0(2)N A N AB SinN AB cosm A g0 ⑷通过对△ ABC 的分析,可知，sin a == -'-a=30o, cosa =73/2,分别代入(1)、( 2)、( 3)、(4)中，即可求得:解：隔离ACB=L-R A -R B =升降机内有一装置如图示，悬挂的两物体的质量各为m,m2且m,若不计绳及滑轮质量，不计轴承处摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度 a （方向向下）运动时，两物体的加速度各是多少绳内的张力是多少解：以升降机为参考系，隔离m i,m2,受力及运动情况如图示，T为绳中张力，f i*=ma,f ；=m2a, a i'=a J=a'为2m2a (m2m i)g a im i m2a22m i a (m2m i)gm i m2)m相对升降机的加速度.以向下为正方向，由牛顿二定律，有:m i g mi a咛解得:m2a m2a' a'(m m2)a (m2 mjgm-i m22m i m2 (g a)/(m i m2)m、m的加速度分别为a i、a2, 根据相对运动的加速度公式,a i a i a a2a2' a 写成标量式:a i a' a,a2a' a，将a'代入，求得:a就下面两种受力情况：⑴F 2t? 2? (N,s ),⑵ F 2t? (1 t)? (N,s )分别求出 t=0,1/4,1/2,3/4,1 冲量，也用图表示。

解：⑴F 2t? 2?代入t 值得:F(0) 2?F($ 畀 2?F® i? F(4)邦 2?,F(1) 2i? 2?1 1 1 I Fdt 2? tdt 2? dt i? 2?I 12 22 5Ns ,与x 轴夹角a = arctgl y /I x = arctg2 =° ⑵F 2t? (1t)?,代入t 值得：F(0) ?F® 評 訂,F(1) ? 1? F(3) f? 4? F(1)2?1111I Fdt2i? tdt ? dt j? tdti?扌?I .12 0.52 、5/2Ns ,与 x 轴夹角a = arctgI y /I x = = °一质量为m 的质点在o-xy 平面上运动，其位置矢量为:r a cos ti? bsin t?，求质点的动量。

质点动量： p mv m a sin ti? m bcos tj? 大小：pp x 2 p y 2 m . a 2 sin 2 t b 2cos 2 t解：质点速度：v dr /dta sin ti?b cos tj?时的力并用图表示；再求 t=0至t=1时间内的方向：与x 轴夹角为B, tg 0 = p y/p x = - ctg 3 t • b/a与滑轮质量可不计，不计滑轮轴摩擦。

问将m托起多高，松手后可利用绳对M冲力的平均力拖动M设当mF落h后经过极短的时间△ t后与绳的铅直部分相对静止。

解：以地为参考系，选图示坐标，先以m为研究对象，它被托起h,再落回原来位置时，速度大小为v . 2gh ,在厶t极短时间内与绳相互作用，速度又变为零，设作用在m上的平均冲力为F，相对冲力，重力作用可忽略，则由质点动量定理有:F t 0 ( mv) mv m 2gh，二F m、2gh/ t再以M为研究对象，由于绳、轮质量不计，轴处摩擦不计，绳不可伸长，所以M受到的冲力大小也是F, M受到的最大静摩擦力为f ma匸口o Mg因此，能利用绳对M的平均冲力托动M的条件是：F> f max,即mj2gH/ t o Mg h °2M 2( t)2g/2m2质量为1500kg的汽车在静止的驳船上在5s内自静止加速至5m/s，问缆绳作用与驳船的平均力有多大(分别用质点系动量定理、质心运动定理、牛顿定律求解)解：(1 )用质点系动量定理解：以岸为参考系，把车、船当作质点系，该系在水平方向只受缆绳的拉力F的作用，应用质点系动量定理，有F A t=mv /• F=mv/ A t=1500 X 5/5=1500N(2)用质心运动定理解：F=(m+m)a c ,据质心定义式，有：(mi+m)a c=ma1+ma2 , a 1 为车对岸的加速度，a1=(v-0)/ A t=v/ A t ,a2为船对地的加速度，据题意a2=0,「. a c=am/(m 1+m)，代入a1,a c=mv/[(m 1+m) A t]，二F=r r v/ A t=1500N(3 )用牛顿定律解：a2=0 a 1 -——分别分析车、船两个质点的 F ——H一m> m受力与运动情况：其中f为静摩擦力，a1=v/ A t，对两个质点分别应用牛顿二定律：f m1a1m1v/ t 1500N F f 0 F f 1500Nvv x 2 v y 2 . 54.22 44.362 70km/ h 与 x 轴夹角arctgv y / v xarctg 44.36 /54.2 39.370kg 重的人和210kg 重的小船最初处于静止，后来人从船尾向船头匀速走了停下来，问人向哪个方向 运动，移动了几米不计船所受的阻力。