自动控制原理大作业班级：XXXXXXXX学号：XXXXXXX姓名：倪马液位自动控制系统分析解答题目：如图所示的液位自动控制系统，简述：（1）系统的基本工作原理，说明各元、部件的功能，控制器、被控对象、希望值、测量值、干扰量和被控量；绘制系统原理框图。

（2）假设：系统输入/输出流量和入/出水阀开度成正比，减速器加速比为i，H和电位计中点（零电位点）对应，电动机输入电压和输出转角的对应关系参0见第二章第二节相应内容。

试列写该系统以H为输入，以实际液位高度H为输出的系统数学模型。

（3）根据（2）的求解过程，绘制控制系统结构图，并求出系统闭环传递函数。

（4）利用劳斯判据，给出满足系统闭环稳定性要求的元、部件参数取值范围。

（5）取系统元、部件参数为：电动机电枢电阻Ω=35.1a R ，电枢电感H L a 00034.0=，电机轴转动惯量26105.8Kgm J -⨯=，电动机反电动势系数)//(03.0s rad V C E =，电动机电磁力矩系数A Nm C M /028.0=；减速器原级齿轮转动惯量210555.0Kgm J =，减速器次级转动惯量22015.0Kgm J =，减速比2=i ；入水阀门转动惯量2301.0Kgm J =，阀门流量系数()rad s m K in //1.03=；m V K H /1=反馈电位计比例系数1=f K 。

入水阀和减速器次级同轴，不计摩擦损耗。

试求：①绘制系统关于功率放大器放大系数1K 的根轨迹；②根据控制系统稳、快、准的原则，在根轨迹上适当选取系统闭环极点，试求出系统对)(1)(t t u r =的响应函数的分析表达式，并分析各元、部件参数对系统输出特性的影响。

（6）绘制系统对数频率特性曲线，并对系统频率响应特性给出详细讨论。

解答分析：一、系统工作原理（1）基本工作原理设定希望水位在高度H 0时，该系统处于平衡状态，即出水量和进水量一致。

此时，浮子和电位器连接的杆处于水平位置，电位器的滑头也位于中间位置。

假设系统初始处于平衡状态（且阀门L1，L2关闭），当打开阀门L2（或其他因素），使水槽内水位下降（出水量大于入水量），浮子随水位下降而下沉，并通过连杆带动电位器滑头向上移动。

此时，相当于给电位器输入一正电压，并使电动机正转，通过减速器开大阀门L1，进而使进水量增大（一直增大到入水量大于出水量），液面开始增高，当液面高度为H0时，电位器滑头又处于中间位置，无电压输出，电动机亦不会转动，系统处于平衡状态。

（2）各元、部件的功能电位器：将浮子及连杆传来的高度值转化为电压值，其检测作用。

电动机：将电位器传递过来的电势能转化为机械能，然后传给减速器。

减速器：通过减速器内的齿轮比控制电动机传过来的速度。

阀门：控制流入流出水量的大小。

（3）控制器:点位器、电动机、减速器被控对象：水槽被控量：液面水位实际高度H希望值：水位高度H 0测量值：0H H H ∆=-干扰量：出水口的出水量θ2（4）系统原理框图（照片）二、系统数学模型根据上面的系统原理框图，列出各元、部件的方程：设出水管处的液阻为R （m/(m 3S -1)），水槽低截面积为C （m 2）。

比较元件：0H H H ∆=- （2-1）连杆：1f H K H =⋅∆ （2-2）电位器：1H u K H ε=⋅ （2-3）放大器：1u K u ε=⋅ （2-4） 电动机：11()mm d T t K u dt ωω+= （2-5） 减速器：12i ωω= （2-6） 动能守恒：222233J J ωω= （2-7） 阀门L 1流量：13in K dt θω=⋅⎰ （2-8）在微小的时间间隔dt 内，水槽内液体增量等于输入量减去输出量，即 12()Cdh dt θθ=- （2-9）液阻和h ，2θ的关系为：2h R θ=（2-10） 联立上两式得：1dh RC h R dtθ+= （2-11） 联立从式（2-2）到式（2-11），得32321()m m T d H d H dH T CQ C Q Q K H dt R dt R dt+++=∆ （2-12）其中1m H f K K K K K =，32in J i Q K J =进行拉氏变换得： 320()()()m m H s KR H s RT CQs T RC Qs Qs KR=++++ （2-13） 三、系统结构图及传递函数对上题各元、部件方程作拉氏变换，作出系统结构框图：得出其开环传递函数为()(1)(1)m KR G s Qs RCs T s =++ （3-1） 整理可得32()1()m m K G s T T CQs C Qs Qs R R=+++ （3-2） 根据结构框图求出其闭环传递函数为 0()()()(1)(1)m H s RK s H s Qs RCs T s RKΦ==+++ （3-3） 或如式（2-13）: 320()()()()m m H s KR s H s RT CQs T RC Qs Qs KR Φ==++++ 四、系统稳定性判定由式（2-13）可知，该系统的闭环特征方程为32()0m m RT CQs T RC Qs Qs KR ++++=系统稳定的必要条件0i a >及劳斯表中第一列系数都大于零。

劳斯表下：S 3m RT CQ Q S 2()m T RC Q + KR S 1()()m m m Q T RC Q KR RT CQ T RC Q ⋅+-⋅+ S 0 KR所以，m RT CQ >0，()m T RC Q +>0，()()m m m Q T RC Q KR RT CQ T RC Q ⋅+-⋅+>0，KR >0。

因为0,0R C >>得出：10m H f K K K K K =⋅⋅⋅> 0m T Q >32m R C K T RC Q>- 五、系统分析 （1）根轨迹在电动机的传递方程11()mm d T t K u dt ωω+=中， a m E MR J T C C = （5-1） 1m E K C =（5-2） 将题目所给的数据代入之前的方程函数中，得得系统开环传递函数：133.3()16.33(1)(0.013661)RK G s s RCs s =⋅+⋅+ 其函数中有3个极点，为1230;1;173.20.01366p p RCp ==-=-=- 当RC>0.01366时，p2>P3，假设RC=1（R=1(m/(m 3/s))，C=1m 2），则p 2=-1。

此时，实轴上的根轨迹：负实轴的[0～-1]，[-73.2～-∞）区段为根轨迹段。

根轨迹的起点：n=3，故有3个起点，分别起于开环极点（0,0），（-1,0）和（-73.2,0）。

根轨迹的终点：因为m=0，故n-m=3,有3个终点在无穷远处，即有3条渐近线。

110173.224.73n m iji j a p z n m σ==---==≈--∑∑ (21)60;180;60a k n mπϕ+==--o o o 因为系统无零点，所以11[]0ni id p ==-∑，则 1110173.2d d d ++=++ 解得：10.5d ≈-， 248.97d ≈-（不在根轨迹上，舍弃）所以10.5d ≈-为分离点。

分离角为90±o 。

根轨迹和虚轴交点：在系统闭环特征方程中，用s j ω=代入*[16.33(1)(0.013661)]0s j s s s K ω=+++=得32*0.22316.33016.550K ωωω-+=-+= 解得 *8.561211.9K ω=±=（K1=K*/33.3=36.4）根轨迹图（照片）（2）假如有一三阶系统的闭环传递函数为：222()()(2)()n n n C s R s s s s ωλξωωλ=+++ （5-1） 则这个系统的单位阶跃响应为2222222()1(1)1)(2)1(2)11n t t n n e e h t t t ξωλβξβξωξωβξββξβξ--⎧⎫⎪⎪=-----⎨⎬-+-+-⎪⎪⎩⎭ （5-2） nλβξω= （5-3）假设RC=1（R=1(m/(m 3/s))，C=1m 2），K 1=1。

则原闭环传递函数表示式可变为：0()33.3()16.33(1)(0.013661)33.3H s H s s s s =+++ 解特征方程16.33(1)(0.013661)33.30s s s +++=得三个解：12373.25;(0.49 1.34);(0.49 1.34)x s x s j x s j ≈+≈+-+≈+--2230.98 2.04x x s s ⋅=-+其中，73.25λ=2 2.04 1.43n n ωω=⇒=20.980.34n ξωξ=-⇒=-将上述三个参量代入式（5-2）及（5-3）中得响应函数的分析表达式为：{}0.4973.26()12659.47cos1.34962.3sin1.342660.472660.47t te e H t t t -=--- 六、系统频率特性曲线依上题，假设RC=1（R=1(m/(m 3/s))，C=1m 2），K 1=1。

则该系统的开环传递函数为 33.3()16.33(1)(0.013661)G s s s s =++ 可见，系统开环传递函数由以下三种典型环节串联而成：放大环节： 1()33.3G s = 积分环节：21()16.33G s s =惯性环节：31()(1)G s s =+和41()(0.013661)G s s =+ 分别作出各典型环节的对数幅频、相频特性曲线，再分别将各典型环节的对数幅频、相频特性曲线相加，即得系统开环对数幅频、相频特性曲线。

如图（照片）讨论：根据上图系统开环对数幅频、相频特性曲线，简单作出该系统的幅相频率特征图：因为系统的开环传递函数为33.3()16.33(1)(0.013661)G ss s s=++中无右极点，即P=0，由幅相频率特征图可见，幅相频率特征曲线不包围（-1，j0）点，即N=0，故N=P/2，所以，闭环系统是稳定的。

由上面俩图同样可以看出，相角裕量γ大于零而幅值裕量h大于1（h的分贝值大于零），表明该系统稳定。

七、说明：参考文献：[1] 周雪琴. 控制工程导论. 西安：西北工业大学出版社，1987.[2] 李育锡. 机械设计基础. 高等教育出版社，2006.[3] 同济数学系. 高等数学. 高等教育出版社，2006.。