绍兴一中2019学年第一学期高三期末考试数学一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=ππcos2sin，A，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+-=xx，xxB sinsin2coscos，则A BI为（▲）A．{0,1}- B．{1,1}- C．{1}- D．{0}2．若复数()()14i t i+-的模为52，则实数t的值为（▲）A． 1 B．2 C．2± D．3±3．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为（▲）A．错误!未找到引用源。
π192 B．π240错误!未找到引用源。
C．π384错误!未找到引用源。
D．错误!未找到引用源。
π5764．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S5＝2 S10，则5151052S SS S+=-（▲）A．52B．92- C．72D．112-5．已知A、B是抛物线xy42=上异于原点O的两点，则“·=0”是“直线AB 恒过定点(0,4)”的（▲）A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件6．数列921,,,aaa⋅⋅⋅中，恰好有6个7，3个4，则不相同的数列共有（▲）个A．67C B．49C C．39C D．36C7．已知双曲线]2,2[)0,0(12222∈>>=-ebabyax的离心率，则一条渐近线与实轴所构成的角的取值范围是（▲）A．⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππB．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππC．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππD．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ8．已知函数()()242log,041234(4)x xf xx x x⎧<≤⎪=⎨⎪-+>⎩，若方程()(=∈f x t t)R有四个不同的实数根1x，2x，3x，4x，则1x2x3x4x的取值范围为（▲）A ．(30,34)B ．(30,36)C ．(32,34)D ．(32,36)9．已知,x y 都是正实数，则44x yx y x y+++的最大值为（ ▲ ）A ．32B ．43C ． 52D ． 5410.已知在矩形ABCD 中，2AB =，4AD =，E ，F 分别在边AD ，BC 上，且1AE =，3BF =，如图所示， 沿EF 将四边形AEFB 翻折成A EFB ''，则在翻折过程中，二面角B CD E '--的大小为θ，则tan θ的最大值为（ ▲ ）A ．325 33B. 32C.4 33D.非选择题部分二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.） 11．已知函数()ln 2020f x x x =+，则()1f '= ▲ ，0(12)(1)lim x f x f x∆→-∆-∆的值等于 ▲ .12．已知点P(x,y)满足条件y x z k k y x x y x 3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥若为常数的最大值为12， 则k = ▲ .13．如果x ＋x 2＋x 3＋……＋x 9＋x 10＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋……＋a 9(1＋x )9＋a 10(1＋x )10，则a 9＝______ _，10a = ▲ .14．已知A 袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B 袋内有大小相同的2个红球和4个白球．现从A 、B 两个袋内各任取2个球，设取出的4个球中红球的个数为ξ，则(1)P ξ== ▲ ，ξ的数学期望为 ▲ .15．抛物线x y 22=顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MFMO 取最大值时M点的横坐标为 ▲ .16.已知ABC ∆中，BC 中点为M ，()BC AC AB ⊥+,AB AC AB AC BC ⋅=--2222，CA CN 31=3=AB ，则 B ∠= ▲ ，=MN ▲ .17.已知函数()222sin 2,2cos 2a a f a a a θθθ++=++()0,,≠∈a R a θ,则函数(),f a θ的值域是▲ .三、解答题(本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18．（本题满分14分） 在ABC ∆中,,,A B C 所对边分别为,,a b c .已知3,b =2()4cos 23sin 23,f x x x =+- （Ⅰ）求()f x 单调递减区间和最大值M ；（Ⅱ）若(),f B M =求ABC ∆面积的最大值. 19．（本小题满分15分）如图，ABEF 是等腰梯形， EF AB //，BF AF ⊥，矩形ABCD 和ABEF 所在的平面互相垂直．已知2=AB ，1=EF ．（Ⅰ）求证：平面⊥DAF 平面CBF ；（Ⅱ）求直线AB 与平面CBF 所成角的正弦值. 20、（本小题满分15分） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()121--=n n a S ． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11111n n n c a a +=++-，数列{}n c 的前n 项和为T n . 求证：123n T n >-．21、（本小题满分15分）已知圆S ：020422=-++y x x ，T 是抛物线x y 82=的焦点，点P 是圆S 上的动点，Q 为PT 的中点，过Q 作Q G ⊥PT 交PS 于G（1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过抛物线x y 82—=的焦点E 的直线l 交G 的轨迹C 于点M 、N ，且满足364sin =∠⋅MON ON OM ，(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.22．（本小题满分15分）对于定义在I 上的函数()y f x =，若存在0x I ∈，对任意的x I ∈，都有()()0f x f x m ≥=或者()()0f x f x M ≤=，则称0()f x 为函数()f x 在区间I 上的“最小值m ”或“最大值M ”． （Ⅰ）求函数2()ln(2)f x x x =-+在]1,0[上的最小值；（Ⅱ）若把“最大值M ”减去“最小值m ”的差称为函数()f x 在I 上的“和谐度G ”，试求函数()23F x x x a a =-+>（0）在[1,2]上的“和谐度G ”；（Ⅲ）类比函数()f x 的“和谐度G ”的概念， 请求出(,)(1)(1)11x y x y x y y xϕ=--++++在{}(,),[0,1]I x y x y =∈上的“和谐度G ”．参考答案：CDBDB CCCBC11．【答案】2021，-4042． 12．【答案】9- 13．【答案】－9，1 14．【答案】 7(1)15P ξ==,76E ξ= ξ可能的取值为0123，，，．1(0)5P ξ==，7(1)15P ξ==， 13224611(3)30C P C C ξ===·．从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==．ξ的分布列为ξ的数学期望012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 15．【答案】1．【解析】设抛物线方程为x y 22=，则顶点及焦点坐标为()00，O ，⎪⎭⎫ ⎝⎛021，F ，若设点M 坐标为(),M x y ，则2⎪⎭⎫⎝⎛MF MO ==+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+222221y x y x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 22122241222+++x x x x 令41222+++=x x x x t 得，()()04212=+-+-t x t x t ，由0≥∆得34≤t ，由4123422+++=x x x x 得1=x 。
16.【答案】4π，210【解析】由()⊥+得： ()0=+，即20=⋅BC AM ，故BC AM ⊥。
由AB AC AB AC BC ⋅=--2222得：()22BC AB AC =+，即224BC AM =，也即AM BC 2=，所以ABC ∆的形状为等腰直角三角形(如图)。
在CNM ∆中，由余弦定理得=MN 210。
17.【答案】23,23⎡⎤-+⎣⎦．【解析】设222sin 22cos 2a a t a a θθ++=++，则22cos 2sin (1)(2)0,at a t a θθ-+-+=所以直线222(1)(2)0,atx ay t a -+-+=与圆221x y +=有公共点，从而有221(2)121t a a t -+≤+得2212222221t a a a at -≤≤=++于是2121t t -≤+，得2410t t -+≤得2323t +≥≥-18．【解析】(Ⅰ) ()4sin(2)1,6f x x π=+-.........3分设3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈解得2,.63k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调减区间为2,,.63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.........6分 函数()f x 的最大值为 3.M =.........8分（Ⅱ）(0,),B π∈Q 且当x B =时()f x 取得最大值，2,.626B B πππ∴+=∴=.........10分222292cos 323,1893,a c ac A a c ac ac ac ac =+-=+-≥-∴≤+.........12分等号当且仅当a c =时成立.111893sin .24ABC S ac B ac ∆+∴==≤ 所以ABC ∆面积的最大值为1893.+.........14分19．（Ⅰ）证明：Θ平面⊥ABCD 平面ABEF ,平面I ABCD 平面ABEF =AB ，AB CB ⊥,⊂CB 平面ABCD ， ⊥∴CB 平面ABEF ． ⊂AF Θ平面ABEF ， CB AF ⊥∴， 又Θ BF AF ⊥， ⊥∴AF 平面CBF ．⊂AF Θ平面ADF ，∴平面⊥DAF 平面CBF ．（Ⅱ）方法一：根据（Ⅰ）的证明，有⊥AF 平面CBF ，∴FB 为AB 在平面CBF 上的射影， 因此，ABF ∠为直线AB 与平面CBF 所成的角．EF AB //Θ，四边形ABEF 为等腰梯形，过点F 作AB FH ⊥，交AB 于H ．2=AB ,1=EF ，则212=-=EF AB AH ． 在AFB Rt ∆中，根据三角形相似（或射影定理）得AB AH AF ⋅=2，解得1=AF ．21sin ==∠AB AF ABF ． ∴直线AB 与平面CBF 所成角的大小为ο30．方法二：略20【解析】（Ⅰ）Θ()121--=n n a S ，∴()12111--=a S ，即()12111--=a a ∴311=a 当2n ≥时，()1121----=-=n n n n n a a S S a ，得311=-n n a a ，即{}n a 是等比数列；∴1()3n n a = ．（Ⅱ）证明： 11111331131311()1()33n n n n n n n c +++=+=++-+-111311311111131313131n n n n n n ++++--+=+=-+++-+- 1112()3131+=--+-n n ，由111111,313313n n n n ++<>+-得111111,313133n n n n ++-<-+- 所以1113112()2()313133＋++=-->---n n n n n c ，从而122231111111[2()][2()][2()]333333n n n n T c c c +=+++>--+--+--L L22311111112[()()()]333333n n n +=--+-++-L11112()2333n n n +=-->-．即123n T n >-．21、【解析】（1）由题意得：T （2，0），且GQ 是PT 的中垂线.∴.||||GT PG = 又62||||||||||==+=+PS GP GS GT GS ， ∴点G 的轨迹是以S 、T 为焦点的椭圆，2,6==c a∴G ∴==,2c -a b 22的轨迹C 的方程是.12622=+y x ⑵由题意得：E(-2，0），当直线l 的斜率存在时，设l ：()2+=x k y ，代入.12622=+y x 并整理得：2222(31)121260k x k x k +++-=，设1122(,) (,)M x y N x y ，， 则2212122212126, 3131k k x x x x k k -+=⋅=++,∴12MN x =-==，点O 到直线l的距离d =∵sin OMN OM ON MON S ⋅∠=⇒=V u u u u r u u u r ，而12OMN S MN d =⋅V，∴MN d ⋅==解得k =，此时: 2)m y x =+ ， 当直线l 的斜率不存在时，l ：2-=x，也有OMN S =V故直线l 的方程为 20 2x x +==-或22解：（Ⅰ） 令1()202f x x x-'=+=-，则22410x x -+=，12111x x ∴=<<= 显然，[]1,01∈x ，列表有：所以，()f x 在]1,0[上的“下确界”为 13()ln(12f x =+. ……………4分 （Ⅱ）①当102a <≤时，max ()(2)F x F =，min ()(1)F x F = ， 和谐度G (2)(1)32F F a =-=-； ②当1526a <≤时，max ()(2)F x F =，min ()(2)F x F a =， 和谐度G ()(2)44F a F a a =-=-； ③当516a <≤时， max ()(1)F x F =，min ()(2)F x F a =， 和谐度G ()(2)21F a F a =-=-； ④当312a <<时，max ()()F x F a = min ()(2)F x F = ， 和谐度G 2()(2)(2)F a F a =-=- ； ⑤当322a ≤≤时，max ()()F x F a =，min ()(1)F x F =， 和谐度G 2()(1)(1)F a F a =-=- ；⑥当2a >时， max ()(2)F x F =, min ()(1)F x F =， 和谐度G (2)(1)23F F a =-=-.综上所述：22132, 0<21544, 26521, 163(2), 123(1), 2223, 2a a a a a a G a a a a a a ⎧-≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪->⎪⎩………………10分（每一项得1分）（Ⅲ） 因为221(1)(,)11(1)(1)(1)(1)x y x y xy xy x y x y x y ϕ+++-==-≤++++， 当0xy =或1xy =时等号成立，所以(,)x y ϕ的最大值为1． ………………11分令(1),(1)(1)xy xy T t x y -==++2222(1)(1)(1),[0,1].1(1)1xy xy t t t t T t x y xy t t---=≤==∈+++++ 令2(1)()1t t g t t-=+，则223222((23)(1)()22()(1)(1)t t t t t t t t g t t t --+--'==++， 令()0g t '=，得12t -+=是()g t 的极大值点，也是()g t 的最大值点，()g t g ∴≤=，从而T ≤， 所以(,)1x y ϕ≥=………………13分当x y ==时等号成立，所以(,)x y ϕ的最小值为25513-． ………………14分由此G =………………………………15分。