A、B、C 同号
2 C = Aω x2' (t 0 ) + Bω y ' (t 0 )
§10-3 陀螺近似理论
由（4）式可得：
A ω x 'ω x ' + B ω y 'ω y ' = 0 & &
C < ε ⎛ A + B ⎞ < Mε = ε * | ωx ' (t ) |≤ ⎜ ⎟ A ⎠ ⎝ A C ⎛ A+ B ⎞ | ω y ' (t ) |≤ <ε ⎜ ⎟ < Mε = ε * B ⎝ B ⎠
y'
ωψ y'
l' ωψ l ' O ωψ x '
6
x'
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
dl ' dk ' & + J z ' (ωψ z ' + ω ) LO = J ωψ l ' dt dt & LO = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ω ψ × (ωψ z ' + ω )
dl ' dk ' = ωψ × l ' , = ωψ × k ' dt dt dLO Q MO = dt & LO = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ωψ × ωψ z ' + J z 'ωψ × ω
ωψ
21
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
思考题：4个质点的质量均为m，固连在不计质量的AB和CD 杆上，AB杆和CD杆垂直，绕O 点作定点运动。设：AO= BO = CO = DO =R，能否用陀螺近似理论公式计算该定点运动刚 体的陀螺力矩。
y' D
Z
B x'
O
M g = J z 'ω ×ωψ
J x' = J y'
2013-5-7 2
理论力学
陀螺的进动性
陀螺的动力学特性
“骑车撒把”的稳定性
陀螺的定向性
问题：如何解释这些现象？
2013-5-7 3
理论力学
为什么要研究近似理论
2011年好奇号火星探测器
问题: 1、如何利用陀螺的运动特性和结构特性建立其动力学方程？ 2、如何应用陀螺动力学理论分析和解释一些力学现象？ 3、如何应用陀螺动力学理论研究实际工程问题？ 目的：建立陀螺的运动与其作用力间的简洁关系式
x'
x
o
y
y'
其中：Ox’、Oy’、Oz’为刚体对 O点的惯量主轴（随体坐标轴）
方程的特点：具有普遍性，适用范围广。 形式复杂，不易做定性分析和简便计算。
2013-5-7 5
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
Z’
陀螺规则进动的动力学方程 设：ω , ωψ ,α为常量
ω a = ωψ + ω (ω >> ωψ ,α ≡ α 0，J x ' = J y ' = J )
mg
2013-5-7
M O = ωψ × J z 'ω
14
理论力学
陀螺的定向性（稳定性）
§10-3 陀螺近似理论
陀螺（玩具）源于我国 距今有4千多年的历史（新石器时代） 观察实验现象： • 物体的结构特性 • 物体的运动特性 提出问题： • 陀螺绕怎样的 轴 高速旋转具有定向性（稳定性）？ 提示：观察 刚体对转动轴的转动惯量具有什么特性。
& LO =J z 'ωψ × ω
Z’
if : z ⊥ z ' ωψ // ωψ l ' , ωψ z ' = 0
陀螺规则进动精确公式：
M O = ωψ × J z 'ω
& LO ≈ J z 'ωψ × ω
ωψ
if : z ⊥ z ' , ω >> ωψ
陀螺规则进动近似公式：
M O = ωψ × J z 'ω
2013-5-7 15
理论力学
根据欧拉动力学方程
§10-3 陀螺近似理论
证明： ω z ' 0
设：z’ 轴是刚体的最大或最小惯量主轴
≈ ω z ' (t ),
' k0 ≈ k '
⎫ J x'ωx' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = ∑Mx' ⎪ & ⎪ ⎪ J y'ωy' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = ∑M y' ⎬ & ⎪ J z'ωz' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = ∑Mz' ⎪ & ⎪ ⎭
根据z’轴的性质有：
A⋅B > 0
A ω x 'ω x ' + B ω y 'ω y ' = 0 & &
16
理论力学
A ω x 'dω x ' + B ω y 'dω y ' = 0 1 2 2 d ( Aω x ' + Bω y ' ) = 0 2 2 Aω x2' + Bω y ' = C (4)
(5)
若：ω x ' (t 0 ) < ε , ω y ' (t 0 ) < ε
不失一般性，设： A>0、B>0、C>0
由（5）式可得： C < ( A + B )ε 2013-5-7
2
⎧ ⎛ A+ B ⎞ ⎛ A+ B ⎞⎫ ⎪ ⎪ M = max ⎨ ⎜ ⎟, ⎜ ⎟⎬ A ⎠ ⎝ B ⎠⎪ ⎪ ⎝ ⎩ ⎭
CD＝2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。
2013-5-7
9
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
M g = J z 'ω × ωψ 1 M g = mR 2ω1ω 2 2
MO + M g = 0
陀螺力矩
FD
ωψ
FC
轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力
ω
Mg
Mg 1 FD = FC = = mR 2ω1ω 2 2L 4 L
2013-5-7
20
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上， AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理 论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。
Z Z
vr B
O
B vr
ω
Z’
O
ω
vr
Z’
A vr
A
ωψ
2013-5-7
M g = J z 'ω ×ωψ
l'
其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是陀螺的质心。 2013-5-7 7
理论力学
陀螺的动力学特性： • 陀螺（力矩）效应
§10-3 陀螺近似理论
Z’
ωψ
• 陀螺的进动性 • 陀螺的定向性 •陀螺力矩(gyroscopic torque)： M g = J z 'ω ×ωψ
M O = ωψ × J z 'ω M O − ωψ × J z 'ω = 0 M O + J z 'ω × ωψ = 0
作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡 MO + M g = 0 陀螺力矩是陀螺上各质点科氏惯性力对O点之矩的矢量和
2013-5-7 8
理论力学
§10-3 陀螺近似理论
例：已知 ω1 , ω 2 的大小为常量，均质圆盘质量为m，半径为R
当 t > t0 时，必有：
| ω x ' ( t ) |< ε *, | ω y ' ( t ) |< ε * (6)
17
理论力学
刚体对质心 C 的动量矩为：
§10-3 陀螺近似理论
LC = J x 'ω x ' i '+ J y 'ω y ' j '+ J z 'ω z ' k '
Q
dLC = ∑ M C ( F ( e ) ) = 0 ∴ LC (t ) = LC (t 0 ) (7) dt
J x'ωx' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = 0 (1) ⎫ & ⎪ J y'ωy' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = 0 (2)⎬ & J z'ωz' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = 0 (3)⎪ & ⎭
2013-5-7
B = J y' ( J z' − J y' )
L O = J x 'ω x ' i ' + J y 'ω y ' j ' + J z 'ω z ' k '
ωψ
ωψ ωψl'' l
ω a = ωψ x ' i '+ ωψ y ' j '+ (ω + ωψ z ' ) k '