= L (t 0 ) 则有：ω z ' 0 ≈ ω z ' (t ),
' k0 ≈ k'
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论 飞行器惯性导航
2010-5-17
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论
高速旋转物体的其它动力学特性
2010-5-17
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论
思考题：质点A、B质量均为m，固连在不计质量的AB杆上， AB杆绕O点作定点运动。设：AO=BO=R，能否用陀螺近似理 论公式计算图示瞬时两个质点的陀螺力矩。
理论力学
作业：6-13、6-14、6-15
§6-3 陀螺近似理论
• 什么是陀螺？ • 为什么要研究陀螺 近似理论？ • 用什么方法研究？
2010-5-17
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理论力学
什么是陀螺？
•陀 螺(gyroscope)： 绕质量对称轴高速旋转的定点运动刚体。 结构特性：陀螺转子为旋转体 运动特性：绕旋转体的旋转轴高速转动（角速度大小为常量）
A、B、C 同号
2 C = Aω x2' (t 0 ) + Bω y ' (t 0 )
Aω & x 'ω x ' + B ω & y 'ω y ' = 0
由（4）式可得：
C < ε ⎛ A + B ⎞ < Mε = ε * | ωx ' (t ) |≤ ⎜ ⎟ A ⎝ ⎠ A C ⎛ A+ B ⎞ | ω y ' (t ) |≤ <ε ⎜ < Mε = ε * ⎟ B ⎝ B ⎠
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论
M g = J z 'ω × ωψ 1 M g = mR 2ω1ω 2 2
MO + M g = 0
陀螺力矩
FD
ωψ
FC
轴承C、D作用在CD轴上的附加动反力
ω
Mg
Mg 1 FD = FC = = mR 2ω1ω 2 2L 4 L
当转子高速转动时，若转轴也转 动，则陀螺力矩会产生附加动反力。 陀螺力矩产生的作用效应称为 陀螺效应。
L O = J x 'ω x ' i ' + J y 'ω y ' j ' + J z 'ω z ' k '
ωψ
ωψ
ω a = ωψ x ' i '+ ωψ y ' j '+ (ω + ωψ z ' ) k '
Lo = J x 'ωψx 'i '+ J y 'ωψy ' j '+ J z ' (ωψz ' + ω ) k '
J x'ω & x' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = 0 (1) ⎫ ⎪ J y'ω & y' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = 0 (2)⎬ J z'ω & z' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = 0 (3)⎪ ⎭
2010-5-17
B = J y' ( J z' − J y' )
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理论力学
LO = J x'ωx'i '+ J y'ωy' j'+ J z 'ωz 'k'
d LO = ∑ M O ( F ( e) ) dt
用什么方法研究
z z'
定点运动刚体的欧拉动力学方程
⎫ J x'ω & x' + (J z' − J y' )ωy'ωz' = ∑Mx' ⎪ ⎪ ⎪ J y'ω & y' + (J x' − J z' )ωx'ωz' = ∑M y' ⎬ ⎪ J z'ω & z' + (J y' − J x' )ωx'ωy' = ∑Mz' ⎪ ⎪ ⎭
ωψ
ω
MO
问题：如何确定陀螺转 子的自转角速度方向？
mg
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M O = ωψ × J z 'ω
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理论力学
陀螺的定向性
§6-3 陀螺近似理论
证明：当外力对刚体的质心之矩为零时，刚体绕最大或最小 惯量转轴（k’ 轴）的转动是稳定的（k’的方向是稳定的）。
2010-5-17
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理论力学
当t>t0时，由（6）式可知：
ω x ' (t ) < ε *,
ω y ' (t ) < ε *
LC (t ) = J x 'ω x ' (t ) i '+ J y 'ω y ' (t ) j '+ J z 'ω z ' (t ) k ' ≈ J z 'ω z ' (t ) k ' (9)
因为对质心的动量矩守恒： LC (t ) 2010-5-17
由于外力对质心之矩为零，则
(1) × ( J z' − J x' ) ω x' ( 2 ) × ( J z' − J y' ) ω y'
然后两式相加得：
+ J y ' ( J z ' − J y ' )ω & y 'ω y ' = 0
设： A = J x ' ( J z ' − J x ' )
J x ' ( J z ' − J x ' )ω & x 'ω x '
Z’
M O = ωψ × J z 'ω 解：应用陀螺近似理论：
y' D
Z
B x'
O
M g = J z 'ω ×ωψ
J x' = J y'
ω
Z’
A
C
2010-5-17
ωψ
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论
例题：质量为m的陀螺在地面上作定点运动，绕自身对称轴的 转动惯量为 J，绕该轴的角速度为ω，z’ 轴与铅垂轴z的夹角 为α=300。陀螺质心C 到与O 点的距离为L。求陀螺的进动角 速度Ω和地面的约束力。
M O = ωψ × J z 'ω M O − ωψ × J z 'ω = 0 M O + J z 'ω × ωψ = 0
作用在陀螺上的外力矩与陀螺力矩相互平衡 MO + M g = 0
2010-5-17 8
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
例：已知 ω1 , ω 2 的大小为常量，均质圆盘质量为m，半径为R CD＝2L，求陀螺力矩和支座C、D的附加动反力。
2010-5-17
ωψ z'
' ωψl l'
y'
ωψ y'
l' ωψ l ' O ωψ x '
6
x'
理论力学
§6-3 陀螺近似理论
dl ' dk ' dl ' dk ' & = ωψ × l ' , = ωψ × k ' LO = Jωψl ' + J z ' (ωψz ' + ω ) dt dt dt dt & O = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ω × (ωψ z ' + ω ) L d LO ψ Q MO = dt & O = Jωψ × ωψ l ' + J z 'ωψ × ωψ z ' + J z 'ωψ × ω L
2010-5-17
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理论力学
§6-3 陀螺近似理论
动点: 圆盘边缘上的一点M 观察的现象： ω > ωψ 下半圆盘向里斜, 上半圆盘向外斜。动系: 固连在电机定子的 o’x’y’z’
ωψ
ω
z'
o
y'
ωψ
x'
M g = J z 'ω × ωψ 陀螺力矩
可以证明：陀螺力矩就是各质点科氏 惯性力对O点之矩的矢量和。 2010-5-17
2010-5-17 2
理论力学
陀螺的进动性
陀螺的动力学特性
陀螺的定向性
如何解释“骑车撒把”的稳定性
2010-5-17 3
理论力学
为什么要研究近似理论
问题: 1、如何定性分析陀螺的动力学特性？ 2、如何应用陀螺近似理论研究实际工程问题？ 3、如何应用陀螺近似理论分析解释一些力学现象？ 目的：要建立陀螺的运动与其作用力间的简洁关系式
其中： MO是作用于陀螺转子上的所有外力对O点之矩的矢量和， O点既可以是惯性参考系中的固定点，也可以是陀螺的质心。 2010-5-17
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理论力学
陀螺的动力学特性： • 陀螺（力矩）效应
§6-3 陀螺近似理论