练 体 何 题几 习 2CBDCA2^2 n CBD335B D ■/iEFAED. 4A. 1B. 2C. 3A. 81.设a 、休丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线，给岀下列四个命题: m? a, n? a, m // B, n // p,贝Uall B ；若a 丄Y, B 丄Y 贝U all B ；②其中真命题的个数是（） 若AG 与 所成角为30，则二面角EF 为③若all B l?a,则I // B ④若 aQp ,=l B^Y =m 丫门％ 亍nl ll 丫，贝U的体积为4•三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点 则OP 长为（） A. 5 .「； B . 2 口5•如图，四棱锥 S- ABCD 的底面为正方形,A. ACL SB B . AB//平面 SCD6•如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1,A. 1 v d i v d 2 C. d 1 v 1 v 7•在锐角的二面8•给出下列四个命（1）若平面 上有不共线的三点到平面的距离相等，则〃0,空间一点P 到三个平面的距离分别为 3、4、5,C. 3 仃D. 5. ■:SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（）C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角设点CG 到平面PAB 的距离为d 1,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（2•正方体A.- ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 3BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） 3•三棱ABC- A 1B 1C 1 中，AA 1=2 且 AA 1 丄平面 ABC, △ ABC 是边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, 则这个球d 1 v d 2v d 2< d 1 vA EF , AG , GAE45 ,(2) 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线； (3) 两条异面直线中的一条平行于平面，则另一条必定不平行于平面；(4) a,b 为异面直线，则过 a 且与b 平行的平面有且仅有一个.其中正确命题的序号是 _________________________9•已知正方体 ABCD AB i C i D i 中，点E 是棱 AR 的中点，则直线 AE 与平而 BDD iB 所成角 的正弦值是 . 10•已知直三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，ABC 90° , AC AA , 2.2 , AB 2 , M 为 BB i 的中其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则-的取值范围是a12•已知矩形 ABCD 的长AB 4，宽AD 3，将 其沿对角线BD 折起，得到四面体 A BCD ，如 图所示， 给出下列结论：① 四面体A BCD 体积的最大值为72;5② 四面体A BCD 外接球的表面积恒为定值； ③ 若E 、F 分别为棱AC 、BD 的中点，则恒有EF ④ 当二面角A BD C 为直二面角时，直线⑤当二面角A BD C 的大小为60时，棱AC 的长为14.5其中正确的结论有 _____________________ (请写出所有正确结论的序号 ).13.如图，在直三棱柱 ABC- A1BG 中，/ BAC=90°, AB=BB ，直线 BQ 与平面 ABC 成 30° 角.(I )求证：平面 B 1ACL 平面 ABBA ;(II )求直线AC 与平面BAC 所成角的正弦值.14.如图，在三棱锥 P -ABC 中，D, E , F 分别为棱PC, AC AB 的中点.已知 PAL AC PA=AB=6 BC=8 DF=5.(1)若PB 丄BC 证明平面 BDEL 平面 ABC点，贝V B ,与平面ACM 的距离为 ___________11•边长分别为a 、b 的矩形, 按图中所示虚线剪裁后,可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面,AC 且 EF BD ；16.-AB 、CD 所成角的余弦值为(2)求直线BD与平面ABC所成角的正切值.15.如图，长方体ABCD- A i BQDi中，AB=AD=1 AA=2，点P为DD的中点.(1)求证：直线BD//平面PAC(2)求证：平面PACL平面BDDB;(3)求CP与平面BDDB i所成的角大小.16.如图，四棱锥P-ABCD勺底面是正方形，PD丄底面ABCD点E在棱PB上(1)求证：ACL平面PDB(2)当PD= 'AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.17.在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ ADC=45°,D=AC=1 O为AC中点，P0丄平面ABCD P0=2, M为PD中点.(I)求证：PB//平面ACM(H)求证：ADL平面PAC(川)求二面角M- AC- D的正切值.18.如图所示，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCE为矩形，PA丄平面ABCD点E在线段PC上，PC丄平面BDE(1)证明：BD L平面PAC(2)若PA=1, AD=2,求二面角B- PC- A的正切值.19.如图，直三棱柱ABC- A1B1C1 中，CA L CB AA1=AC=CB=2 D是AB的中点.(1)求证：BC//平面ACD(2)求证：AC丄AB;(3)若点E在线段BB上，且二面角E- CD- B的正切值是•儿，求此时2|三棱锥C- ADE的体积.20.如图，四棱锥S- ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的..倍，P为侧棱SD上的点.(1)求证：ACL SD(2)若SDL平面PAC求二面角P- AC- D的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE//平面PAC若存在，求SE EC的值; 若不存在，试说明理由．试卷答案: 解：若a丄丫，B丄丫，则a与B可能平行也可能相交，故①-错误; 由于m n不一定相交，故a//B不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B考点：棱柱的结构特征.专题：空间角.分析：找出BD与平面ABCD所成的角，计算余弦值.•/ DD丄平面ABCD：BD是BD在平面ABCD勺射影，•••/ DBD是BD与平面ABCD所成的角；设AB=1,则BD= ：'：, BD=二• cos / DBD^^-=^=空；故选：D.点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题.考点：球的体积和表面积.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积.解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ ABC是边长为.】的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为:因为AA=2且AA丄平面ABC所以外接球的半径为：「=府了=应.解答: 解：连接V冷"晋…近）呼H.所以外接球的体积为：故选：C.点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题.考点：平面与平面垂直的性质.专题：计算题；空间位置关系与距离.分析：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，0P为长方体的对角线，求出0P即可.解答：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为0P为长方体的对角线.所以0P=5.'：.故选：D.点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.考点：直线与平面垂直的性质.专题：综合题；探究型.分析：根据SDL底面ABCD底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证ACL SB根据线面平行的判定定理易证AB//平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ ASO是SA与平面SBD所成的角，/ CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果.解答：解：•••SDL底面ABCD底面ABCD为正方形，•••连接BD,则BD L AC根据三垂线定理，可得AC L SB故A正确；•/ AB// CD AB?平面SCD CD?平面SCD• AB//平面SCD故B正确；• SDL底面ABCD/ ASO是SA与平面SBD所成的角，/ DSO是SC与平面SBD所成的，而厶SAO^A CSO•••/ ASO M CSO即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；••• AB// CD •- AB与SC所成的角是/ SCD DC与SA所成的角是/ SAB而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D.点评：此题是个中档题•考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强.考点：点、线、面间的距离计算.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2V d i v 1 •解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，其中/ CEB=90 ,根据斜边大于直角边，得CE v CB即d2V 1 •同理，d i v 1 •再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2v d i.所以d2v d i v 1.故选D.点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.7 —48.(2)(4)9.10112.②③④ 13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.专题：证明题.分析：(I )欲证平面BACL平面ABBA，关键是寻找线面垂直，而AC!平面ABBA i,又AC?平面BAC,满足面面垂直的判定定理；(II )过A i做A i M LBi A i,垂足为M,连接CM, /AQ M为直线A i C与平面B i AC所成的角，然后在三角形A i CM中求出此角的正弦值即可.解答：解：(I )证明：由直三棱柱性质，B i B丄平面ABC•••Bi B丄AC 又BAL AC B B A BA=B••• AC丄平面ABBA ,又AC?平面B i AC,•平面B i AC L平面ABBA i.(II )解：过A i做A i M LB A ,垂足为Ml,连接CM•••平面B i AC L平面ABBA ,且平面B i AC A平面ABBA i=B A,••AM!平面B AC.• /A i CM为直线AC与平面B i AC所成的角，•••直线B i C与平面ABC成30° 角，「./B i CB=30 .设AB=BB=a ,可得B i C=2a, BC=「- 丄-一 :-i ,•直线A i C与平面B AC所成角的正弦值为JE6 '点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.i 4.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角.分析：(i )由已知得DE L AC DE+EF=DF ,从而DE L平面ABC由此能证明平面BDE L平面ABC(2)由DE L平面ABC得/ DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值.解答： (i )证明：•••在三棱锥P- ABC中，D, E , F分别为棱PC AC AB的中点.PA^ AC PA=AB=6 BC=8 DF=5,••• DE I AC DE=3 EF=4, DF=5,••• D W+E R D F,• DELEF,又EF A AC=F • DEL平面ABC又DE?平面BDE •平面BDEL平面ABC(2)v DEL平面ABC •- PAL平面ABC •- PA L AB•/ PB丄BC • AB丄BC•-AC=J%W4=1O，•BE#\C=5，由DEL平面ABC得/ DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan / DBE^~：=—I.BE!•直线BD与平面ABC所成角的正切值为半.5点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角.专题：证明题.分析：(1 )设AC和BD交于点0,由三角形的中位线的性质可得P0// BD i ,从而证明直线BD//平面PAC(2)证明AC L BD DD L AC,可证AC L面BDDB ,进而证得平面PAC L平面BDDB i .(3)CP在平面BDDBi内的射影为0P故/ CP0是CP与平面BDDB所成的角，在Rt△ CP0中，利用边角关系求得/ CP0的大小.解答：(1 )证明：设AC和BD交于点0,连PQ由P, 0分别是DD , BD的中点，故P0// BD ,•/ P0平面PAC BD?平面PAC 所以，直线BD //平面PAC(2)长方体ABCD- A i B C D 中，AB=AD=1 底面ABCD是正方形，贝U AC L BD 又DD L 面ABCD 贝U DD L AC •/ BD?平面BDDB , D D?平面BDDB1 , BD AD 1D=D •- AC L面BDDB1.V AC?平面PAC ••平面PACL平面BDDBi .(3)由(2)已证：AC L面BDDB1 , • CP在平面BDDB内的射影为0P CP0是CP与平面BDDB 所成的角.依题意得丨-「- - —，在Rt△ CPO中, •••/ CPO=30• CP与平面BDDB所成的角为30°.点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题.16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：（1）根据题意证明ACL BD PDLAC可得ACL平面PDB（2）设ACH BD=O连接OE根据线面所成角的定义可知/ AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△ AOE 中求出此角即可.解答：（1）证明：•••四边形ABCD是正方形，• AC L BD■/ PD L底面ABCD•PD L AC又BD H PD=D. AC L平面PDB （3 分）（2）设ACH BD=O 连接OE 由（1）知AC L平面PDB于O,•••/ AEO为AE与平面PDB所的角，（5 分）又O, E分别为DB PB的中点，•OE/ PD OE丄PD,1在Rt△ AOE中，OE~PD=ilAB=AO2 2•/ AEO=45 , （7 分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°. （8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题.17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定.专题：计算题.分析：（I）连接OM BD,由M O分别为PD和AC中点，知OM/ PB由此能够证明PB//平面ACM（H）由PQL平面ABCD 知PQL AD,由/ADC=45 , AD=AC=1 知ACL AD,由此能够证明ADL平面PAC （川）取DQ中点N,连接MN）由MN/ PQ知MN L平面ABCD过点N作NE L AC于E,由E为AQ中点，连接ME由三垂线定理知/ MEN即为所求，由此能求出二面角M- AC- D的正切值.解答：（I）证明：连接QM BD•/ M Q分别为PD和AC中点，•••QM/ PB•••QM平面ACM PB?AC呼面，•PB//平面ACIM-. （4 分）（H）证明：由已知得PQL平面ABCD•PQL AD,•••/ ADC=45 , AD=AC=1•AC L AC,•/ AS PQ=Q AC, PQ平面PAC•ADL平面PAC…..（8分）（川）解：取DQ中点N,连接MN贝U MIN/ PQ•MN L平面ABCD过点N作NEL AC于E,贝U E为AQ中点，连接ME由三垂线定理可知/ MEN即为二面角M- AC- D的平面角，•/ MN=1 NE=•tan / MEN=-2-.. （13 分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答,注意三垂直线定理的合理运用.18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何.分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA!BD与PCLBD再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可;(2)由图可令AC与BD的交点为0,连接0E证明出/ BEO为二面角B- PC- A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值.解答：(1)•.• PA!平面ABCD••• PA! BD•/ PCL平面BDE•PCL BD 又PA P PC=P•BD L平面PAC(2)设AC与BD交点为0,连0E•/ PC L平面BDE•PC L平面B0E•PC L BE•/ BE0为二面角B- PC- A的平面角•/ BD L平面PAC•BD L AC•四边形ABCD为正方形,又PA=1, AD=2,可得BD=AC=2 : , PC=3•0C='- =-..■：■在厶PA3A 0EC中，更县—芈二唾OC PC V2 3 3又BD L 0E•tanZbEQ=-|j=3•二面角B- PC- A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定.专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.分析：(1)连接AG交AQ于点F,由三角形中位线定理得BG // DF,由此能证明BG//平面AQD(2)利用线面垂直的判定定理证明AC丄平面ABC i ,即可证明AQ丄AB;(3)证明/ BDE为二面角E- CD- B的平面角，点E为BB的中点，确定DEL A i D,再求三棱锥C-ADE的体积.解答：（1）证明：连结AG,交A i C于点F,则F为AG中点,又D是AB中点，连结DF,贝U BC// DF,因为DF?平面A i CD BC?平面A i CD所以BG//平面A i CD •••（3分）（2）证明：直三棱柱ABC- A B i C i中，因为AA=AC 所以AG丄AQ・・（4分）因为CALCB BG // BC所以B i C L平面ACCA,所以B i C丄6分）因为B i C P AC=C i，所以A i C丄平面ABC i所以A i C L AB •••（8 分）（3）在直三棱柱ABC- A i B C i中，AA丄CD因为AC=CB D为AB的中点，所以CDLAB CDL平面ABBA i.所以CD L DE CDL DB所以/ BDE为二面角E- CD- B的平面角.在Rt△ DEB中，tan/BD匸誓.由AA=AC=CB=2 CAL CB所以丄•二,-L ._.所以——一,得BE=i .所以点E为BB的中点.…（i i分）DB 2又因为CM,处g抚,DE=V3, A E=3,故A^D^DE^AjE2,故有 DELA i D所以比“吕冥S △町DE X* %后x衍x运二1 •••（i 4分厂点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C- A i DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题.20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题.专题：计算题；证明题；压轴题.分析： （1）连BD 设AC 交于BD 于0,由题意知SQL 平面ABCD 以0为坐标原点，|「「.厂 -[ 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 0- xyz ，设底面边长为 a ,求出高SQ 从而得到点 S与点C 和D 的坐标，求出向量丨「与:才，计算它们的数量积，从而证明出（2） 根据题意先求出平面 PAC 的一个法向量| ：和平面DAC 的一个法向量 ：，设所求二面角为 0, 则亡朋日二 兰•巴 护，从而求出二面角的大小；|0S||ES| 2（3） 在棱SC 上存在一点E 使BE//平面PAC 根据（H ）知：是平面PAC 的一个法向量，设二—::,内，故BE//平面PAC解答： 证明：（1 ）连BD 设AC 交于BD 于Q 由题意知 SQL 平面ABCD以°为坐标原点，:: 分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立坐标系 0- xyz 如图.设底面边长为a ，则高于是:•： i. i. _ ,.故 OC L SD设所求二面角为 0，则所求二面角的大小为 30°.（3）在棱SC 上存在一点 E 使BE//平面PAC由（n ）知厂是平面PAC 的一个法向量,OC L SD 贝U AC L SD求出「，根据二.F- I :- I 可求出t 的值，从而即当 SE: EC=2 1时，西丄瓦，而BE 不在平面PAC-半宜），foc-SD^O 从而 AC L SD(2) 由题设知，平面 09平面 DAC 的一个法向量厉二（-,0, PAC 的一个法向量’下^BE=BC+(i=ECHCS=(-冷& 净(1 - t)f ■ • ..而上丄.即当 SE EC=2: 1 时，「 而BE 不在平面 PAC 内，故 BE//平面 PAC点评： 本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和 法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强..面角的求。