2020年广东学业水平测试学考仿真卷4数学试题(时间：90分钟；分值：100分，本卷共4页)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知集合M＝{1,2}，N＝{0,1,3}，则M∩N＝( )A．{1} B．{0,1}C．{1,2} D．{1,2,3}A[由题得M∩N＝{1,2}∩{0,1,3}＝{1}．]2．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a5＝9，S2＝4，则a2＝( )A．1 B．2C．3 D．5C[设等差数列{a n}的公差为d，则a5＝a1＋4d＝9，S2＝2a1＋d＝4，解得a1＝1，d＝2，∴a2＝a1＋d＝3.]3．“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[当a·b＝0时，a，b的夹角为直角，故“a·b≥0”不能推出“a与b的夹角为锐角”．当“a与b的夹角为锐角”时，a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉>0，即能推出“a·b≥0”．综上所述，“a·b≥0”是“a与b的夹角为锐角”的必要不充分条件．]4．在x轴、y轴上的截距分别是－2,3的直线方程是( )A．2x－3y－6＝0 B．3x－2y－6＝0C．3x－2y＋6＝0 D．2x－3y＋6＝0C[由直线的截距式得，所求直线的方程为x－2＋y3＝1，即3x－2y＋6＝0.]5．已知a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b的位置关系( ) A．一定是异面B．一定是相交C．不可能平行D．不可能垂直C[a，b是两条异面直线，c∥a，那么c与b异面和相交均有可能，但不会平行．若c∥b，因为c∥a，由平行公理得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾．故选C.] 6．在平行四边形ABCD中，AB→＋AD→等于( )A.AC→B.BD→C.DB→ D．|AC→|A[AB→＋AD→＝AB→＋BC→＝AC→.]7．圆(x－1)2＋y2＝1与直线y＝33x的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．直线过圆心A[由圆的方程得圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，因为(1,0)到直线y＝33x的距离d＝331＋332＝12<1，所以圆与直线的位置关系为相交．]8．方程x3－2＝0的根所在的区间是( ) A．(－2,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)C[∵x3－2＝0，∴x3＝2，故x＝32，∵y＝3x是增函数，∴31<32<38，1<32<2，即方程x3－2＝0的根所在的区间是(1,2)，故选C.]9．一个简单几何体的正视图，侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②直角三角形；③圆；④椭圆．其中正确的是( )A．① B．② C．③ D．④C[其俯视图若为圆，则正视图中的长度与侧视图中的宽度应一样，由图中可知其正视图的长度与侧视图的宽度不一样，因此其俯视图不可能是圆．故选C.]10．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为( )A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3C[∵事件A＝{抽到一等品}，且P(A)＝0.65，根据对立事件的概率和为1，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P＝1－P(A)＝1－0.65＝0.35.]11．函数f(x)＝x3－2的零点所在的区间是( )A．(－2,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)C[∵f(1)＝13－2＝－1<0，f(2)＝23－2＝6>0，∴f(1)·f(2)<0.又函数f(x)在(1,2)上是连续的，故f(x)的零点所在的一个区间为(1,2)．故选C.]12．已知点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足y≤|x|，那么|PA|的最小值是( )A.12B.22C.32D．1B[作出平面区域如图，则|PA|的最小值为A(0,1)到直线x－y＝0的距离d＝12＝22.]13．将函数y＝cos x的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( ) A．y＝f(x)的最小正周期为πB．y＝f(x)是偶函数C．y＝f(x)的图象关于点π2，0对称D．y＝f(x)在区间0，π2上是减函数D[将函数y＝cos x的图象向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)＝cos x＋π2＝－sin x的图象，再结合正弦函数的图象特征，可知A ，B ，C 错误，D 正确．故选D.]14．求值：sin 45° cos15°＋cos 45°sin 15°＝( ) A ．－32 B ．－12 C.12 D.32D [sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32.] 15．已知函数f (x )是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，则f (x )在区间[－2，－1]上是( )A ．单调递减函数，且有最小值－f (2)B ．单调递减函数，且有最大值－f (2)C ．单调递增函数，且有最小值f (2)D ．单调递增函数，且有最大值f (2)B [因为函数f (x )是奇函数，且在区间[1,2]上单调递减，由函数的奇偶性性质知，奇函数在对称区间上的单调性相同，所以f (x )在区间[－2，－1]上是单调递减函数．当x ＝－2时，有最大值，f (－2)＝－f (2)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中横线上) 16．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值是5，则输出y 的值是________．0．5 [阅读程序框图，可得该程序的功能是求分段函数的函数值，分段函数的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧0.2，x ≤30.1x ，x >3，因为输入x 的值是5，5>3，所以f (5)＝0.1×5＝0.5.]17．若函数f (x )＝log a (x ＋m )＋1(a >0且a ≠1)恒过定点(2，n )，则m ＋n 的值为________． 0 [f (x )＝log a (x ＋m )＋1过定点(2，n )，则log a (2＋m )＋1＝n 恒成立， ∴⎩⎨⎧2＋m ＝1，1＝n⇒⎩⎨⎧m ＝－1，n ＝1，∴m ＋n ＝0.]18．设e 是椭圆x 2k ＋y 24＝1的离心率，且e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则实数k 的取值范围是________．(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞ [当焦点在x 轴上时，e ＝k －4k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴k －4k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，∴k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞； 当焦点在y 轴上时，e ＝4－k 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴k ∈(0,3)． 故实数k 的取值范围是(0,3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫163，＋∞.]19．已知x ∈[0，π]，且3sin x 2＝1＋sin x ，则tan x2＝________. 12 [由于0≤x ≤π，所以0≤x 2≤π2，故sin x 2≥0，cos x2≥0. 所以1＋sin x ＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x2＝sin x 2＋cos x 2，即sin x 2＋cos x 2＝3sin x2， 即cos x 2＝2sin x 2，故tan x2＝sinx 2cos x 2＝12.] 三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分12分如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC ⊥CB ，点M 和N 分别是B 1C 1和BC 的中点．(1)求证：MB ∥平面AC 1N ； (2)求证：AC ⊥MB .[证明] (1)在三棱柱ABC­A1B1C1中，因为点M，N分别是B1C1，BC的中点，所以C1M∥BN，C1M＝BN，所以MC1NB是平行四边形，所以C1N∥MB.因为C1N⊂平面AC1N，MB⊄平面AC1N，所以MB∥平面AC1N.(2)因为CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1.因为AC⊥BC，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.因为MB⊂平面BCC1B1，所以AC⊥MB.21．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表：断哪种培训方式效率更高？(2)在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．[解] (1)设甲乙两组员工受训的平均时间分别为t1、t2，则t 1＝20×5＋25×10＋10×15＋5×2060＝10(小时)，t 2＝8×4＋16×8＋20×12＋16×1660≈10.9(小时)，据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因10<10.9，据此可判断培训方式一比方式二效率更高．(2)从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，则这6人中来自甲组的人数为：630×10＝2，来自乙组的人数为：630×20＝4，记来自甲组的2人为：a、b；来自乙组的4人为：c、d、e、f，则从这6人中随机抽取2人的不同方法数有：(a，b)，(a，c) ，(a，d) ，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共9种，故所求的概率P＝915＝35.。