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弹塑性力学弹性与塑性应力应变关系详解


➢ 各向同性材料的胡克(Hooke)定律(一维问题,
1678)
单向拉压
E——拉压弹性模量;
纯剪切
G——剪切弹性模量;
——泊松比
横向与纵向变形关系
➢ 广义胡克定律——对复杂应力状态,在弹性力学 假设条件下,应用叠加原理:
考虑x方向的正应变:
产生的x方向应变:
产生的x方向应变:
叠加后得
产生的x方向应变:
屈服下限
强化阶段 软化阶段 卸载
低碳钢在单向拉伸时的典型应力应变曲线
包辛格(Bauschinger)效应
➢ 具当有应强力化超性 质 着过 后 (的 塑或屈,材 性压服拉料变缩点伸随形) 的应增力加的,硬屈 服化极将限引在起一 个反方向向加上载提
高时,压而在缩相
反(方或向拉降伸低) 屈服应力 的弱化
2 2 1 3 1 3 2 2 1 3 1 3
说明, =,=
3-4 特雷斯卡和米泽斯屈服条件
➢ 塑性变形——当作用在物体上的外力卸去 后,物体中没有完全恢复的那部分永久变 形称为塑性变形。
➢ 塑性力学——研究塑性变形和作用力之间 的关系以及在塑性变形后物体内部应力分 布规律的学科称为塑性力学。
如果s+s =2s,则称为理想包辛格效应
名义应力与真实应力
➢ 在体积不可压缩的假设前提下
荷载
➢ 拉伸(压缩)时的名义应力 P
A0
初始截面积
➢ 拉伸时的真实应力
➢ 压缩时的真实应力
T
P A
(1 )
变形后截面积
T
P A
(1 )
3-2 弹塑性力学中常用的简化力学 模型
➢理想弹塑性
模型:
➢ 屈服条件——屈服条件又称塑性条件,它 是判断材料处于弹性阶段还是处于塑性阶 段的准则。
➢ 在应力空间中,将从弹性阶段进入塑性阶 段的各个界限点(屈服应力点)连接起来 就形成一个区分弹性区和塑性区的分界面, 这个分界面即称为屈服面,而描述这个屈 服面的数学表达式称为屈服函数或称为屈 服条件。
特雷斯卡(Tresca)条件(1864)
A
B
s
O
E
E
s
s
e e
➢线性强化弹 塑性模型:
A
s
E
O
s
E
E1
(
s)s
e e
B E1
➢ 线性强化刚塑性
A
模型:
s
O
E s s
B
➢ 理想刚塑性模型:
A
s
O
s
B
➢ 幂强化模型:
A n
n = 1 n=1/2 n=1/3
n=0
O =1
3-3 广义胡克定律
或: 各种弹性常数之间的关系
广义胡克定律——应力偏量与应变 偏量的关系
➢ 用应力偏量与应变偏量表示
eij 1 sij 2G
➢ 用主应力偏量与主应变偏量表示
e1 e2 e3 1 s1 s2 s3 2G
➢ 用主应力差与主应变差表示
1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2G 说明,在弹性阶段,应变莫尔圆与应力莫尔 圆成比例。 ➢ 用3个主应力差与3个主应变差表示
因 此 , Tresca 屈 服 条 件 的 屈 服 面 是 由 三 对
互相平行、垂直于 平面的平面组成的正六 角柱体表面。它与 平面的截线(屈服线)
是一个正六边形。它的外接圆半径是2k 2 / 3 (内切圆半径是 k / 2)。
平面上的屈服轨迹
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
Mises条件
第3章 弹性与塑性应力应变关系
第3章 弹性与塑性应力应变关系
1. 拉伸和压缩时的应力应变曲线 2. 弹塑性力学中常用的简化力学模型 3. 广义胡克定律 4. 特雷斯卡和米泽斯屈服条件 5. 塑性应力应变关系 6. 德鲁克公设和伊柳辛公设 7. 塑性本构关系的内在联系
弹塑弹性塑力性学力学
静力静学力学
平衡微 分方程
几何几学何学
几何方 程
应变与 位移的 关系
应变协 调方程 方程
物理物学理学
物理方 程
应力应 变关系
本构方 程方程
韧性(塑性)金属材料单向拉伸试 验曲线
强度极限 屈服上限 屈服下限 弹性极限
残余变形
强化段 软化段
卸载 弹性变形
弹性极限 线
屈服上限 塑性流动阶段
➢ 当最大剪应力达到材料的某一定值时,材料就开 始屈服,进入塑性状态。表示为
max = k ➢ 当 1 > 2 > 3 时可写作
1 - 2 = 2k
➢ 在主应力的次序未知的情况下,Tresca屈服条件应
表示为:
1
2
2k
2 3 2k
3
1
2k
➢ 上式中至少一个等式成立时,材料就开始进入塑 性变形。
即 同理:
剪应变:
物理方程:
说明:
1.方程表示了各向同性材料的 应力与应变的关系,称为广义 Hooke定律。也称为弹性问题 物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
➢ 体积应变与体积弹性模量
令: 则:
m称为平均应力; q 称为体积应变
➢广义胡克定律的其他表示形式
物理方程:
物理方程:
➢用应变表示应力:
Tresca屈服条件参数
➢ 常数k由试验确定。如由单拉试验,一般取
k = s/2 (有时取k = s/ )3。如由纯剪切试验, k = s。因此,按照Tresca屈服条件,材料 的剪切屈服极限与拉伸屈服极限之间存在s = s/2。
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
➢ 在三维应力空间中,1 - 2 = 2k 是一对与 平面的法线(等倾线)以及3轴平行的平面。
Tresca条件
O
1
3
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
3= 0 平面上的屈服轨迹
Tresca条件
O
1
Mises条件
Tresca屈服条件的几何表示(屈服面)
2
应力空间屈服面
o
3
1
对Tresca屈服条件的评价
➢ Tresca屈服条件是主应力的线性函数,对 于主应力方向已知且不改变的问题,应用 较方便,但忽略了中间主应力的影响,且 屈服线上有角点,给数学处理带来了困难, 没有考虑平均应力对屈服的影响。
塑性力学问题的特点
➢ 塑性力学问题有如下几个特点: (1)应力与应变之问题的关系(本构关系)是非 线性的,其非线性性质与具体材料有关; (2)应力与应变之间没有一一对应的关系,它与 加载历史有关; (3)在变形体中有弹性变形区和塑性变形区,而 在求解问题时需要找出弹性区和塑性区的分界 线; (4)在分析问题时,需要区分是加载过程还是卸 载过程。在塑性区,在加载过程中要使用塑性 的应力应变关系,而在卸载过程中则应使用广 义的胡克定律。
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