b
a
B
A
b a
一般位置平面
b
b
b
a
c
a
b
C c
c
c
a
a c
投影特性 1. abc 、 abc 、 abc 均为 ABC的类似形 2. 不反映、、 的真实角度
1.5.3 平面上的点和直线
1. 平面上取直线和点
（1） 平面上的直线
直线在平面上的几何条件是：①通过平面上的两点；②通过 平面上的一点且平行于平面上的一条直线。
a d b c
b
c
ad
2. 迹线表示法
Z
PZ
Z
PZ
PV
X
O
PX
PH
PV
PW
X PX
O
PW
PYW YW
PY
PH
Y
YH PYH
1.5.2 各种位置平面的投影特性
1.投影的垂直面 (1) 铅垂面 (2)正垂面 (3)侧垂面 2.投影的平行面 (1)水平面 (2)正平面 (3)侧平面 3.一般位置平面
V
（2） 平面上的点
点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。
在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线 的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题： 判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直 线的投影；完成多边形的投影。
（1） 平面上取直线
b e
f
B
F
d
c
Ｂ1 Ｂ PH
求一般位置平面对H面倾角
1.作平面内的水平线； 2.作对H面的最大斜度线； 3.用直角三角形法求最大斜度线对 H面的倾角。
例15 求 ABC平面与水平投影面的夹角α 。
b
d
a
e
e a
d
BE
c
α
be
c
b
例：求三角形ＡＢＣ对Ｈ面的倾角
最大斜度 线实长
new
最大斜度线 水平投影
个人观点供参考，欢迎讨论！
P B
铅垂面
c a
W
b
c a
b
A
a b
H
C PH c
a c
b
投影特性：1、 水平投影abc积聚为一条直线
2 、正面投影 abc、 侧面投影abc为ABC的类似形
3 、 abc与OX、 OY的夹角反映、角的真实大小
铅垂面迹线表示
V P
PV
PW
W
H PH
PH
V
b
QV
a
A
c
C
正垂面
b c W a α
b
m
a
n
b m
c
n c
a
例14 已知点E 在ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面 10，试求点E的投影。
b
r m
e
n
a s
10 15
X
c
b
n
r
s
e
c
m
a
二、平面内对投影面的最大斜度线。
平面内垂直于该投影面内任意一条投 影面平行线的直线，称为平面内对相应投影 面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最大斜度线有三种
2. 平面的迹线表示法
平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面 用迹线来表示是用其具有积聚性的一条边线来表示。
1. 几何元素表示法
b
b
b
b
a
a
a
c
c
c a
c
a
a
c
a c
a c
c
b
b
b
b
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。
2 、 水平投影abc、正面投影 abc为 ABC的类似形
3 、 abc与OZ、 OY的夹角反映α、β角的真实大小
V S
侧垂面的迹线表示
SH
W X
Z
β
SH
O
α
Y
H
YH
水平面
V
a b c
a
b c
b
AB
a W
c
C
b
b
a
a
b a c
c H
c 投影特性：
1. abc、 abc积聚为一条线积聚为一直条线，具有积聚性
１.垂直于平面内水平线的直线，是平面 内对水平面的最大斜度线。 ２.垂直于平面内正平线的直线，是平面 内对正平面的最大斜度线。 ３.垂直于平面内侧平线的直线，是平面 内对侧平面的最大斜度线。
new
平面内对投影面的最大斜度线用于 一般位置平面对投影面倾角的求法
平面P对水平面H 的最大斜度线
Ｍ
A
Ｎ
1 a
B
Q
c
a
b c
a
H
b
投影特性：1、 正面投影abc 积聚为一条直线 2 、 水平投影abc、侧面投影abc是 ABC的类似形 3 、 abc与OX、 OZ的夹角反映α、 角的真实大小
V QV
正垂面的迹线表示
QV γ W Q
α
H
V SB
A
侧垂面
b
b
SbW a
W
c
C
b
a
c β c α a
c
H
a
投影特性：1、 侧面投影abc积聚为一条直线
E
a
D
C
c
a
A
d
f
e
b
取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过 属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。
（2） 平面上取点
b e
B
E
D
C
A
d
c
a
c a
d e
b
取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线
例 11
已知ABC 给定一平面，（1）判断点K是否属于该平面。 （2）已知平面上一点E的正面投影e’作出水平投影。
b
1
e
d k
c
a
X
O
c
a
e
1
d
k
b
2. 平面上的特殊位置直线 V
PV
P
水平线
PH H
正平线
（1）平面上投影面平行线—既在平面上又平行于投影面的直线。 在一个平面上对V、H、W投影面分别有三组投影面平行线。平面上的
投影面平行线既具有投影面平行线的投影性质，又与所属平面保持从属关 系。
例13 已知 ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平 线，过点A作属于该平面 的水平线。
2. 水平投影abc反映 ABC实形
正平面
V b
b
b
a
B
b
c
W
a
a
A a
c
c
C
c
c Hb a
c
ba
投影特性：
1. abc 、 abc 积聚为一条直线，具有积聚性 2.正平面投影abc反映 ABC实形
侧平面
Vc
b
B
b
a
b
W
a
A
a
c
b a
c
a
a
bC
c
b
Hc c
投影特性： 1. abc 、 abc 积聚为一直条线，具有积聚性 2. 侧平面投影abc 反映 ABC实形
例8 过点A 作EF 线段的垂线AB。
b
f
e
X e b
a
O
a
f
例9 求点E 到水平线AB的距离。
e’
d’ a’
b’
X
O
d
yD-yE e
a b
所求距离
1.5 平面的投影
1.5.1 平面的表示法
1. 几何元素表示平面
用几何元素表示平面有五种形式： （1）不在一直线上的三个点； （2）一直线和直线外一点； （3）相交两直线； （4）平行两直线； （5）任意平面图形。