浙江省2002年7月高等教育自学考试
高等数学(工本)试题
课程代码：00023
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题2分，共40分) 1. x
mx
sin lim
x ∞→ (m 为常数)等于( )
A. 0
B. 1
C.
m
1
D. m 2. 函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧
=≠0
x ,00
x ,x
1sin x 在x=0点处( ) A. 不连续
B. 连续但不可导
C. 可导
D. 无定义
3. f(x)=2
x e --1+x 2, g(x)=x 2,当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小
C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小
D. f(x)与g(x)是等价无穷小
4. 设f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<≤<-2x 1,x 21x 0,x 0x ,1x 2,则f(x)在( )
A. x=0，x=1处都间断
B. x=0,x=1处都连续
C. x=0处间断，x=1处连续
D. x=0处连续，x=1处间断
5. 若x 0为函数y=f(x)的极值点，则下列命题中正确的是( ) A. f ′(x 0)=0 B. f ′(x 0)≠0
C. f ′(x 0)=0或f ′(x 0)不存在
D. f ′(x 0)不存在
6. 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f ′(0)等于( ) A. 0 B. -4! C. 4 D. 4!
7. 设函数y=sinx 2，则dy=( )
A. cosx 2dx 2
B. cosx 2dx
C. cosxdx 2
D. 2xsinxdx 8. 函数f(x)在［a,b ］上连续，且φ(x)=(x-b)⎰
x
a
f(t)dt ，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使
ϕ′(ξ)=( )
A. 0
B. 1
C.
2
1
D. 2 9. 若函数f(x)在点x=0的某一领域内一阶导函数连续，且f ′(0)=0,1
e )
x (f lim x 20x -'→ =-3则( )
A. f ″(0)不存在
B. 在点(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点
C. f ″(0)存在但不等于-6
D. f(x)在x=0处有极大值
10. 函数y=sinx,x ∈［0,2π］的拐点为( ) A. (
2π,1) B. (π,0) C. (2
3
,-1) D. 不存在 11. 设f(x)在［0,+∞］上连续，且⎰
x
f(t)dt=x(1+cosx)，则f(
2
π
)=( ) A. 1-
2π B. 2
π
C. 1-π
D. π 12. 已知6
x 0
20
x ax
dt t sin lim
2
⎰
→ =1，则( )
A. a=3
B. a=3
1
C. a=1
D. a=6 13. 曲线x=cost+sin 2t,y=sint(1-cost),z=-cost 在t=2
π
的点处的切线方程是 ( )
A. 1z 11y 11x =--=-
B. 11z 12y 1x -=
--= C. 1z 11y 11x -=-=- D. 1
1z 12y 1x -=
-=- 14. 交换二次积分⎰
⎰x
x
10
dy
f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )
A. ⎰
⎰y
y 10
2
dy f(x,y)dx B. ⎰
⎰2y y
1
dy f(x,y)dx
C.
⎰
⎰y
y
1
dy
f(x,y)dx D.
⎰
⎰y
y 1
2
dy
f(x,y)dy
15. 设OM 是从O(0，0)到点M(1，1)的直线段，则与曲线积分I=⎰
+OM
y x 2
2e
ds 不等的积分是
( ) A. ⎰
1
x
22e
dx B.
⎰
1
y
22e
dy
C.
⎰
2
r e dr D.
⎰
1
r 2e dr
16. 设D={(x,y)|x 2+y 2≤a 2,a>0,y ≥0}，在极坐标系中，二重积分
⎰⎰
+D
22y x dxdy 可表示为
( ) A.
⎰⎰
π
θ
a
d rdr B.
⎰⎰
π
θ
a
d r 2dr
C.
⎰
⎰
π
π
-θ22
a
0d rdr D.
⎰
⎰
π
π
-θ22
a
0d r 2dr
17. 若级数
∑
∞
=1
n u n 收敛，则下列级数中不收敛的是( )
A.
∑
∞
=1
n 2u n B.
∑
∞
=1
n (u n +2) C. 2+
∑
∞
=1
n u n D.
∑
∞
=k
n u n
18. 若级数
∑
∞
=1
n c n (x+2)n 在x=-4处是收敛的，则此级数在x=1处是( )
A. 发散
B. 条件收敛
C. 绝对收敛
D. 收敛性不能确定 19. 微分方程y ″=y ′,的通解为( )
A. y=c 1x+c 2e x
B. y=c 1+c 2e x
C. y=c 1+c 2x
D. y=c 1x+c 2x 2 20. 微分方程ydx+(y 2x-e y )dy=0是( ) A. 可分离变量方程
B. 可化为一阶线性的微分方程
C. 全微分方程
D. 齐次方程
二、填空题(每小题2分，共20分)
1. 若函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠--+0x ,
k 0x ,x x 1x 1在x=0处连续，则k=______。
2. 设f ′(1)=1，则1
x )
1(f )x (f lim 21x --→ =______。
3. 曲线y=e x +x 上点(0，1)处的切线方程为______。
4. 若∫f(x)dx=arcsinx+c ，则f(x)=______。
5. 设D ：|x|≤1, 0≤y ≤2，则
⎰⎰D
2
ydxdy x
=______。
6.设f(u,v,s)具有连续的一阶偏导数，且w=f(x-y,y-z,t-z),则
t
w
z w y w x w ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=_____。
7. 周期为2的函数f(x)，它在一个周期内的表达式为f(x)=x, -1<x<1，设它的傅立叶级数的和函数为s(x)，则s(2
3
)=______。
8. 把f(x)=
)
x 31)(x 21(1
--展开为x 的幂级数，其收敛半径R=_______。
9. 设z=z(x,y)由方程x 2+2y 2+3z 2+xy-z-9=0确定，则x
z
∂∂=________。
10. 设f(x,y)在D ：y ≤1-x 2,y ≥x 2-1上连续，试将⎰⎰D
dxdy )y ,x (f 化为先对y 再对x 的二次积分
______。
三、计算题(每小题4分，共24分)
1. 设⎩⎨⎧-=+=t
arctan t y )t 1ln(x 2,求22dx y d ,dx dy 。
2. 求不定积分
⎰
+2
x
1x 1
arctan
dx 。
3. 计算二重积分
⎰⎰
D
xydxdy,其中D 是由抛物线y 2=x 及直线y=x-2所围平面区域。
4. 计算曲线积分∮L 2y 2dx+(x 2+6y 2)dy,式中L 为由x 2+y 2=1与ox 轴，oy 轴在第一象限所围成
的区域D 的正向边界曲线。
5. 设z=x 2+y x f(x,y),其中f 是二阶可导函数，求：2x
z
∂∂。
6. 求解微分方程的初值问题⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==-π=1y x cos x cos y dx dy x sin 2x
四、应用及证明题(每小题8分，共16分)
1. 设S 1是由抛物线y=x 2与直线y=x 围成的平面区域绕x 轴一周而产生的旋转体；S 2是由抛物线y 2=x 与直线y=x 围成的平面区域绕x 轴一周而产生的旋转体。
试比较两者的体积大小。
2. 若存在0<m<M ，使m<n
n
v u <M (v n >0)，试证明：∑∞=1n u n 与∑
∞
=1
n v n 具有相同的敛散性。