主题：投资组合问题指导教师: 阮小娥老师制作时间：—学院：机械学院小组成员：机自07 赵磊 80机自07 周策 81机自07 邹业兵 82目录一、引言: (3)二、实验问题： (3)三、问题分析 (4)（1）、已知和股票有关的一些概念（实验所涉及的理论知识）：4（2）、数学建模： (5)数学模型： (6)（3）、求解方法： (6)四、程序设计： (7)第一步： (7)第二、三、四步： (7)第五步： (8)五、程序运行结果（实验结果）为： (9)第一步： (9)A股49个周末的收盘价的变化情况 (9)B股49个周末的收盘价的变化情况 (9)C股49个周末的收盘价的变化情况 (10)第二、三、四步： (10)第五步： (11)六、问题的进一步拓展与实验 (12)实验过程 (12)1：条件假设 (12)2：建立模型 (12)3：模型求解 (13)程序设计 (14)程序运行结果 (14)七、实验的总结与体会： (19)赵磊： (19)周策： (19)邹业兵： (19)一、引言:现在社会，随着社会的发展和生产力的提升，人们的生活水平日益提高。
人们不仅仅满足于吃饱穿暖，人们对财富的追求也愈来愈强烈，此时股票作为社会化大生产的产物，股票至今已有将近似400年的历史，它的发展与人类经济的发展可以说是和谐统一的，而它集惊险刺激和可能存在的巨额经济效益的特点更是牢牢的牵住了现代人的心，毕竟，在已经不愁衣食的前提下，谁不想像股神巴菲特一样，动动脑筋便收拢全世界的财富呢所以，研究股票自然而然就成了现代人生活中极为重要的一部分。
二、实验问题：企业（或政府）或个人进行投资的目的是为了取得利润，在现代市场经济中，由于投资环境瞬息万变，任何一项投资的收益总是不能确定的，也就是说具有一定的风险，如何度量收益和风险呢下面给出一个实际问题进行分析：表9-1给出3只股票（A、B、C股）49个周末的收盘价，表9-1 股票49个周末的收盘价问题：(1) 分别计算这三只股票的周收益率的时间序列，平均收益率和他们收益率分布的方差；（2）允许卖空的条件下给出这3只股票风险最小的投资策略。
三、问题分析（1）、已知和股票有关的一些概念（实验所涉及的理论知识）：记AtP为证券A在第t周末的价格，定义11---=At AtAt P PPrAt为证券A当周的证券收益率，由于投资初期不可能知道将来的收益率，因此收益率是一个随机变量，At A A A r r r r ........3,2,1为证券A 在某一时间段内收益率分布，且定义该收益率分布的均值T r E A ∑==T 1t At r )(为证券A 的期望收益率，并用该收益率分布的方差T r E r T t At At A ∑=-=122))((σ度量该证券A 期望收益的偏差称为风险，同样可以计算证券B 的期望收益率)(B r E 及方差2B σ两证券收益率分布间的协方差为∑=---==T t B Bt A At B A AB r E r r E r T r r 1))())(((11),cov(σ 协方差给出了证券A 和证券B 收益率分布相互影响的程度，协方差的大小依赖于收益所的单位，相关系数B A AB B A B A AB r r σσσσσρ==),cov(反映了证券A 和证券B 投资比率分为多少时风险比率最小，受益最大，这就是证券A 和证券B 的投资组合问题。
（2）、数学建模：用决策变量X1，X2，X3分别表示投资股票A ，B ，C 的投资比率，记股票A ，B ，C 的投资比率，记股票A ，B ，C 的收益率分别为Ea 、Eb 、Ec，根据题意, Ea、Eb、Ec是随机变量，投资的总收益率为S=X1*Ea+X2*Eb+X3*Ec也是随机变量，用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差，则有（以下结果是经过第一、二、三、四步操作所得）Ea = ， Eb= , Ec=Da = , Db= , Dc=Dab=、 Dac= 、 Dbc= ；由概率论知识可知covAC=Dac*Da^*Dc^covAB=Dab*Da^*Db^covBC=Dbc*Db^*Dc^投资的总期望收益率为：y=E=x1*Ea+x2*Eb+x3*Ec用总收益的方差衡量投资风险是，投资总收益的方差为：Z=D(x1*Ea+x2*Eb+x3*Ec)=Da*x1^2+Db*x2^2+Dc*x3^2+2covAB*x1*x2+2covAC*x1*x3+2covBC*x2*x3由于x1、x2、x3分别表示投资股票A、B、C的投资比例，所以x1+x2+x3=1数学模型：Minz(x1,x2,x3)=*x1^2+*x2^2+*x3^2+*x1*x2++*x2*x3x1+x2+x3=1（3）、求解方法：第一步：画出A、B、C三只股票49个周末收盘价的变化情况的图像（便于分析问题）；第二步：求出A、B、C三只股票49个周末收盘价的期望收益率Ea、Eb、Ec ；第三步：求出A、B、C三只股票49个周末收盘价的方差Da、Db、Dc ；第四步：求出A、B、C三只股票收益率分布直间的协方差：Dab、Dac、Dbc；第五步：求出投资风险最小和此时的收益率。
四、程序设计：第一步：1、A股：x = 1:1:49;y = [,,,,,,,,11,,,,,,,,12,,,,,,,12,,,,,,,,,,,,,,,,,12,,12,12,12 ,,12,12,];plot(x,y)2、B股：x = 1:1:49;y = [,,,,,,,,1,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,]plot(x,y)3、C股：x = 1:1:49;y = [,,,,,11,,,,,,,,,,,,,15,,,14,,,,,,,,,,,,,,,14,,,,14,,,,,,,,]plot(x,y)第二、三、四步：PA=[ 11 12 12 12 12 1212 12 12 ];PB=[ .9 .93 .961 ];PC=[ 11 15 14 14 14 ];for i=2:1:49ra(i-1)=(PA(i)-PA(i-1))/(PA(i-1));rb(i-1)=(PB(i)-PB(i-1))/(PB(i-1));rc(i-1)=(PC(i)-PC(i-1))/(PC(i-1));endrA=[ra];rB=[rb];rC=[rc];T=48;Ea=sum(rA(1:T))/T;Eb=sum(rB(1:T))/T;Ec=sum(rC(1:T))/T;Dab=(1/(T-1))*sum((rA(1:T)-Ea).*(rB(1:T)-Eb)); Dac=(1/(T-1))*sum((rA(1:T)-Ea).*(rC(1:T)-Ec)); Dbc=(1/(T-1))*sum((rC(1:T)-Ec).*(rB(1:T)-Eb)); Da=sum((rA(1:T)-Ea).^2)/T;Db=sum((rB(1:T)-Eb).^2)/T;Dc=sum((rC(1:T)-Ec).^2)/T;covAB=Dab*((Da)^*((Db)^;covAC=Dab*((Da)^*((Dc)^;covBC=Dab*((Db)^*((Dc)^;第五步：h=[2*Da^2 2*covAB 2*covAC;2*covAB 2*Db^2 2*covBC;2*covAC 2*covBC 2*Dc^2];c=[0,0,0];a1=-[Ea,Eb,Ec];b1=0;A2=[1,1,1];b2=1;[x,fv,ef,out,lag]=quadprog(h,c,a1,b1,A2,b2)F=sqrt(fv)S=-a1*x五、程序运行结果（实验结果）为：第一步：A股49个周末的收盘价的变化情况.B股49个周末的收盘价的变化情况C股49个周末的收盘价的变化情况第二、三、四步：Ea= Eb = Ec =Dab =Dac =Dbc =Da =Db =Dc =covAB =covAC =covBC =第五步：x =fv =ef =1out =iterations: 1 constrviolation:algorithm: 'medium-scale: active-set' firstorderopt:cgiterations: []message: 'Optimization terminated.' lag =lower: [3x1 double]upper: [3x1 double]eqlin:ineqlin: 0F =S =由此可知（1）A、B、C的平均收益率分别为Ea= ， Eb= , Ec= 收益率分布的方差分别为 Da= , Db= , Dc=（2）、投资A、B、C股票的投资比例分别为：%、% 、%，此时风险最小为%，收益率为%六、问题的进一步拓展与实验类似地，还可以引入四种以上数量的股票及股票不同时间的投资问题。
一般来说，投资人希望投资风险小而收益大，是一个多目标的优化问题。
我们可以将风险和收益的变化关系图像画出来。
给投资者最感官的认识。
最佳投资组合示例5 如表8-7给出4只股票在同一时期内的平均收益率r%，购买股票是交易率为p%，风险损失率q%，投资越分散，总的风险越小。
假定总风险用投资中最大一种股票的风险来度量，且同期银行存款利率是r%=5%，既无交易费有无风险，由于投资者承担风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，季最大风险不超过a的情况下，为投资者建议一种投资策略，使其尽可能获得最大收益。
表8-7 股票信息实验过程为了建立最佳投资组合模型。
我们分以下三个步骤来完成次实验。
1：条件假设假设投资四种股票的资金分别为x,总投资金额为M.并设四种购票之间是相互独立的，且在投资的同一时间内都为定值。
不受意外因素影响。
2：建立模型投资四种股票的风险度为，i=1，2，3，4；购买四种股票时所付交易费分别为，i=1，2，3，4，则购买四种股票的收益分别为（），i=1，2，3，4，为使投资者获的更大利益，在总风险度不超过a的情况下，可建立如下模型：max∑=-4) (iiiixpr；.∑=+4) (iiiiixxpx= M iqix/M≤a, i=1,2,3,4ix≥0, i=0,1,2,3 3：模型求解模型简化为max∑=-4) (iiiixpr，.∑=+4) 1(iiixp= 1i q i x ≤a ，i=0,1,2,3，4 i x ≥0, i=0,1,2,3，4其中 i x =i X /M , i=0,1,2,3，4 将表8-7给定的数据带入模型的 minF=0x 1x 2x 3x 4x . 0x +1x +2x +3x +4x =1 1x ≤a 2x ≤a 3x ≤a 4x ≤ai x ≥0, i=0,1,2,3，4如何给定风险度a 没有一定的准则，不同的投资者承受风险度的能力不同，本次试验从a=0开始，以步长△a=编写下面的程序进行循环搜索。