平几综合问题
【例1】 在ABC ∆中，AB AC =，其内切圆I 分别切三边于点,,D E F ，P 为弧EF （不含点D 的弧）上一点.设线段BP 交圆I 于另一点Q.直线EP,EQ 分别交直线BC 于点M,N.证明：
（1）,,,P F B M 四点共圆；
（2）
EM BD
EN BP
=
.
N
【例2】 如图，在锐角△ABC 中，AB AC >，cos cos 1B C +=．E F 、分别是AB 、AC 延长线上的点，且90ABF ACE ∠=∠=︒．
⑴求证：BE CF EF +=；
⑵设EBC ∠的平分线与EF 交于点P ，求证：CP 平分BCF ∠．
【例3】 在三角形ABC 中，AB AC =，CAB ∠和ABC ∠的内角平分线分别与边BC 和CA 相交于点D 和E ．设K 是三角形ACD 的内心．若45BEK ∠=︒，求CAB ∠所有可能的值．
P
F
E
C
B
A
【例4】（*）过圆外一点P向圆O作切线PA、PB及割线PCD，过C作PA的平行线，分别交AB、AD于E、F．求证：CE EF
．
【例5】 在ABC △中，B C ∠≠∠，ABC △的内切圆I ⊙与BC CA AB ，，的切点分别为D E F ，，．记AD 与I ⊙的不同于点D 的交点为P ．过点P 作AD 的垂线交EF 于点Q ，X Y ，分别是AQ 与直线DE DF ，的交点．
求证：A 是线段XY 的中点．
【例6】 如图，C 为扇形AOB 的弧AB 上一点，在射线OC 上任取一点P ，连结AP ，过点B 作直线BQ AP ∥交OC 于点Q ．证明：五边形OAQPB 的面积与点C 、P 的选取无关．
X
Q
D
【例7】 给定圆1ω和2ω相交于点X 和Y ．1l 是一条过1ω的圆心的直线且与2ω交于P 、Q ．2l 是一条过2ω的圆心的直线且与1ω交于R 、S ．求证：若P 、Q 、R 、S 四点共圆，则此圆的圆心在直线XY 上．
O
B
P
大显身手
1． 设不过平行四边形ABCD 顶点的任意一条直线分别与直线AB 、BC 、CD 、DA 交于E 、F 、G 、H ，则圆EFC 与圆GHC 的另一个交点Q 必在定直线上.
l 2
l 1
O
O 2
O 1S
R
Q
P
Y
X
2． 已知⊙O 与ABC ∆的边AB AC 、分别相切于P 和Q ，与ABC ∆外接圆相切于D ，M 是
PQ 的中点（如图）
．求证：2POQ MDC ∠=∠．
3． 两圆1O ⊙、2O ⊙相切于点M ，2O ⊙的半径不小于1O ⊙的半径．点A 是2O ⊙上的一点，且满足1O 、2O 和A 三点不共线．AB 、AC 是点A 到1O ⊙的切线，切点分别为B 、C ，直线MB 、
MC 与2O ⊙的另一个交点分别为E 、F ，点D 是线段EF 和2O ⊙的以A 为切点的切线的交点．证明：当点A 在2O ⊙上移动且保持1O 、2O 和A 三点不共线时，点D 沿一条固定的直线移动．
Q
O
M
P
D
C B
A
4．(*选做，不作要求)水平直线m通过圆O的中心，直线l m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A，B，C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M 点最近，AP，BQ，CR为圆O的三条切线，P，Q，R为切点．试证：
(1)l与圆O相切时，AB CR+BC AP＝AC BQ；
(2)l与圆O相交时，AB CR+BC AP＜AC BQ；
(3)l与圆O相离时，AB CR+BC AP＞AC BQ．
提示与解：
1、画图可得到Q点应在在定直线AC上，即证A、C、Q共线. 连AQ、CQ、EQ、HQ，往证∠EQA=∠EQC，
E、F、C、Q共圆→∠EQC=∠GFC，
G、H、Q、C共圆→∠HQC=∠FGC，
∠GFC+∠FGC+∠FCG=1800→∠EQC+∠HQC+∠GFC=1800
， ∵∠BAD=∠FCG ，∴∠EQH+∠EAH=1800
→A 、E 、Q 、H 共圆 →∠EQA=∠EHA ，而AH ∥BC →∠GFC=∠EHA →∠EQA=∠EQC →A 、C 、Q 共线，即Q 必在定直线AC 上.
2、 如图，连接AO 、AD 、DO 和DQ ．
∵ AP AQ 、分别与⊙O 相切于P 、Q ． ∴ AP AQ =
∵OP 和OQ 都是⊙O 的半径，
90APO AQO ∠=∠=︒
∴ 由对称性知2POQ AOQ ∠=∠，且OA PQ ⊥于M ．
∴ 22OD OQ OM OA ==⋅，即OD OA
OM OD
=
又∵DOM AOD ∠=∠，∴DOM ∆∽AOD ∆
∴ ODM OAD ∠=∠ 过D 作两圆的公切线DE ，则CDE CAD ∠=∠ 又∵OD DE ⊥，即90ODE ∠=︒
∴ 9090MDC ODM COE OAD DAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠ 90OAQ AOQ =︒-∠=∠
故2POQ MDC ∠=∠．
3、以M 为原点，12O O 为x 轴建立直角坐标系，如图所示，设1O ⊙方程为()2
211x y ++=，2O ⊙方程为()()2
221x r y r r -+=>．
设
()()()
cos sin 0ππ2πA r r r θθθ+∈，，，，．
因为BC 是1O ⊙的切点弦，
所以BC
方程
为
O
E
D
Q
M P
C
B
A
()()1cos 1sin 1r r x yr θθ++++=，
即()()()1cos sin 1cos 0r r x r y r θθθ+++++=．
又易得EF BC ∥，
设EF 方程为()()1cos sin 0r r x r y t θθ++++=． 又因为12O C O F ∥，所以
F F
C C
y x r y x ==-， 所以11
C F C F y y x x r r =-=-，（其中()F F F x y ，，()C C C x y ，）．
所以()()()111cos sin 1cos 0F F r r x r y r r r θθθ⎛⎫
-++⋅+⋅-++= ⎪⎝⎭，
所以()()()21cos sin 1cos 0F F r r x r y r θθθ+++⋅-+=，
所以直线EF 方程为()()()21cos sin 1cos 0r r x r y r θθθ+++⋅-+=． 又因为AD 是2O ⊙的以点A 为切点的切线，
所以直线AD 方程为()()2cos sin 0r x r r y r θθ-+-=． 即()2cos sin (1cos )0rx r y r θθθ+-+=
设()D D D x y ，，因为点D 在EF 和AD 上，所以()10D r x +=，即0D x =，
所以点D 在定直线y 轴上移动．
4、其实只要第一问完成了，后面两问可类似完成.本题实际上是一道计算题，先设基本量然后代入计
算，通过漫长的化简得到显然成立的等价式.具体过程略.。