第四讲进位制与位值原理（二）
模块一、进制的互化与计算:
一、认识进制
n进制：“逢n进一，借一当n”，如：十进制的特点是“逢10进一，借一当十”。

N进制的四则混合运算和十进制一样：先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

二、进制转换
n进制化十进制：位值原理法。

十进制化n进制：倒取余数法。

n进制化m进制：先把n进制化成十进制，在把十进制化成m进制。

特别地，n进制化n a进制：从低位到高位，取a合一；n a进制化n进制：从低位到高位，取一分a，不足位补0.
三、进制判断
判断一个式子在何种进制下成立，一般依靠下列两个方法：
1．数字特征：在n进制下，每个数字都不能大于(n−1)，如在八进制下，每个数字都不能大于7；反过来说，若n进制下出现7这个数字，则n必定大于7，起码为八进制；
2．尾数特征：观察这个式子的尾数在十进制下应运算出什么结果，在对比式子结果的尾数，找出进位进了多少，在推断进制。

（1）把下列各数转化为十进制数。

(大写英文字母表示10以上进制中的数，如：A表示10，B表示11，……)例1．
(463)8=；(2BA)12=；(5FC)16=.
（2）(1001101010111100)2=()4=()8=()16.
（3）请将十进制数90转化成七进制数是；(125)7转化为八进制数是。

解：（1）(463)8=4×82+6×8+3=307；
(2BA)12=2×122+11×12+10=430；
(5FC)16=5×162+15*16+12=1532.
（2）(1001101010111100)2=(21222330)4=(115274)8=(9ABC)16.
（3）90=72+5×7+6=(156)7，(125)7=72+2×7+5=68=82+0×8+4=(104)8.
例2．（1）计算：(231)5+(124)5=，(251)6+(434)6=；
（2）计算：(11000111)2−(10101)2÷(11)2=()2；
（3）计算：(45)8×(12)8−(456)8=()8.
解：（1）(231)5+(124)5=(410)5，(251)6+(434)6=(1125)6.
（2）(11000111)2−(10101)2÷(11)2=(11000111)2−(111)2=(11000000)2.
（3）(45)8×(12)8−(456)8=(562)8−(456)8=(104)8.
例3．（1）算式1534×25=43214是进制的乘法。

（2）进制下，135×24=3636成立。

解：（1）答案：八进制
因为算式中有数字5，所以最少是六进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余4，
这样16往前进位，不是2、4，只能是8进制。

（2）答案：七进制
因为算式中有数字6，所以最少是七进制，又不足十进制，由个位4×5=20，进位后余6，
这样14往前进位，不是2、只能是7进制。

例4．已知六进制的abc 化成九进制后可以写成cba ，那么这个数写成十进制是。

解：由已知得36a +6b +c =81c +9b +a ，所以35a =3b +80c ，其中a 、b 、c 都是0到5之间的自然数，
由于35a 、80c 都是5的倍数，所以b =5，代入得35a =15+80c ，得7a =3+16c ，
解得c =2，a =5，所以原数是(552)6=212.
模块二、位值原理初步：
例5．一个三位数A 的三个数字所组成的最大三位数与最小三位数的差仍是A ，这个三位数A 是。

解：设三个数字分别为a ≥b ≥c ，则最大的三位数是abc ，最小的三位数是cba ，
abc −cba =99(a −c )，所以原来的三位数是99的倍数，
99的倍数有198、297、396、495、594、693、792、891，这些数中，十位为9，百位数字与个位数字和为9，重新排列之后，最大的三位数的百位数字为9，最小的三位数的个位数字为9，而差的个位数字一定是m ，
9 mn − nm 9
m +n =9，10+n −9=m ，即m =5，n =4，
其中954−459=495，所以原数A =495.
模块三、位值原理进阶：
例6．一个六位数，把它的末三位和前三位整体替换，得到一个新六位数，并且，原六位数的7倍正好等于新六位数的6倍，则原来的六位数是。

解：设原来的六位数是1000a +b ，交换后为1000b +a ，其中a 、b 都是三位数，
得7×(1000a +b )=6×(1000b +a )，
所以 6994a =5993b ，(6994，5993)=13，所以538a =461b ，所以a =461，b =538，
原来的六位数是461538.
随堂练习
1．(145)8化成十进制数是多少？十进制数90转化为七进制数是多少？
解：(145)8=1×82+4×8+5=101.
90=1×72+5×7+6=(156)7.
2．在二进制中计算：(111)2×(101)2−(111100)2÷(11)2=.
解：(111)2×(101)2−(111100)2÷(11)2=(100011)2−(10100)2=(1111)2.
3．记号(25)k 表示k 进制的数，如果(5a )6在十进制中表示为(35)10，求a 值。

解：(5a )6=6a +5=35，解得a =5，
4．在几进制中有4×13=100？
解：进位制一定大于等于5，个位相乘3×4=12，进位之后余0，所以是六进制。

检验(4)6×(13)6=(100)6. 正确。

5．三位数abc 比三位数cba 小99，若a 、b 、c 彼此不同，则abc 最大是多少？
解：设cba−abc=99，所以99(c−a)=99，即c−a=1，若abc最大，取a=8，c=9，b=7，即abc=879.。