-2 x2 1 f 3 3x f1
3
f2
4 1 x2 f 4 xe x
(1) ln 2 ln 3 2
因为
f1
(2)
3
2
1 dx x2 1
-4(3x 2 1) ( x 2 1)3
f 1(4) (
24 24 ) 5 ( x 1) ( x 1)5
所以
max f 1(2) = f 1(2)
x 2

52 27 1 2
max f 1(4) = f 1(4)
x 2

5808 243
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
(b a) 2 '' (3 2)h2 52 1 Rn ( f ) h f ( ) = 10-7 12 12 27 2
1 2 (3) 3x dx ln 3 0
ba 1 n 26
因为
f 3(2) 3x (ln3)2
所以
max( f 3(2) ) f 3(2)
x 1
f 3(4) 3x (ln 3)4
3(ln 3)2
1 2
max( f 3(4) ) f 3(4)
x 1
3(ln 3)4
n 1
2.复化 Simpson 求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，在每个子区间[xk , xk 1 ]上采用Simpson式 f ( x)dx
a b
(b a) ab 1 [ f (a) 4 f ( ) f (b)], 若记xk 1 2 =xk h,则得 6 2 2 n 1 n 1 b xk 1 h I f ( x) dx f ( x) dx [ f ( xk ) 4 f ( xk 1 2 ) f ( xk 1 )] Rn ( f ) a x 6 k 0 k 0 k 记
所以
n 18.2
因此 取节点数 n=19 步长 h
ba 1 n 19
1 (2) 4 dx 0 1 x2
1
因为
f 2(2) 8(3x 2 1) ( x 2 1)3 f 2(4) 96(5 x 4 10 x 2 1) ( x 1)5
所以
max f 2(2) = f 2(2)
所以
n 1791.6
因此 取节点数 n=1792 步长 h 对于复化 Simpson 求积公式有
Rn ( f ) b a h 4 (4) (3 2)h 4 5808 1 ( ) f ( ) = 10-7 4 180 2 180 2 243 2
ba 1 n 1792
所以
n 20.1
因此 取节点数 n=21 步长 h
ba 1 n 21
4
对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
Rn ( f )
(b a)h 4 (4) (3 2)h 4 5808 1 f ( ) = 10-7 4320 4320 243 2
Tn =
b 1 1 (b a )3 '' R[f ]= f ( x) dx (b a)[ f ( a) f (b)] f ( ) (a b) a 2 2 12
得 h3 '' f (k ) ], k [xk , xk 1 ] 12 k 0 1 n 1 由于f ( x) C 2 [a, b], 且 min f '' (k ) f '' (k ) max f '' (k ) 0 k n 1 0 k n 1 n k 0 所以 (a, b), 使 Rn ( f )= I -Tn = [ f '' ( )= 于是复化梯形公式余项为 Rn ( f )= (b a ) 2 '' h f ( ) 12 1 n 1 '' f (k ) n k 0
ba 1 n 14
对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
Rn ( f ) (b a)h 4 (4) (1 0)h 4 1 f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 4 2 270 270 2 2
所以
n 11.93
因此 取节点数 n=12 步长 h
ba 1 n 24
8
对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
Rn ( f ) (b a)h 4 (4) (1 0)h 4 2 1 f ( ) 6e = 10-7 4 4 2 270 270 2 2
Rn ( f ) b a h 4 (4) (1 0)h 4 1 ( ) f ( ) 3(ln 3)4 = 10-7 4 180 2 180 2 2
ba 1 n 2457
所以
h ba 1 7.58 10-2 n n n 13.19
因此 取节点数 n=14 步长 h
二、复化求积公式求解过程
1.利用余项对所要求的每种算法做出步长的事前估计
(1) ln 2 ln 3 2 (3)
1 2 3x dx ln 3 0
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e2 xe x dx
1
2
根据题意： 令
ba 1 n 12
(4) e xe x dx
2 1
7
2
因为
f 4(2) 2e x xe x f 4(4) 4e x xe x
所以
max( f 4(2) ) f 4(2)
x2
4e2
1 2
max( f 4(4) ) f 4(4)
x2
6e2
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
3.复化 Gauss-Legendre I 型求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，分点为xk a kh (k 0,1, 2, …,n;h 子区间[xk , xk 1 ]上采用2点Gauss-Legendre求积公式 (xk 1 xk ) x +x x -x 1 x +x x -x 1 [ f ( k 1 k - k 1 k )+f ( k 1 k + k 1 k )], 6 2 2 2 2 3 3 在[a,b]区间上的复化积分公式为 ba )，在每个 n
1 2
1
解:
一、复化求积公式基本介绍
1.复化梯形求积公式
将区间[a,b]划分为n等分，分点xk a kh( h 区间[ xk , xk 1 ](k 0,1, 2, …，n 1)上采用梯形式 I f ( x) dx
b a k 0 n 1 xk 1 xk b a
x 0
8
max( f 2(4) ) f 2(4)
1 2
x 0
96
又因为题目要求绝对误差限为 107 ，所以 对于复化梯形求积公式有
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h 2 1 h f ( ) 8 = 10-7 12 12 2
所以
n 3651.5
ba , k 0,1, 2, …，n), 在每个子 n (b a ) f ( x) dx [ f ( a) f (b)], 则得 2
f ( x) dx
h [ f ( xk ) f ( xk 1)] Rn ( f ) 2 k 0
n 1
记
n 1 h n 1 h [ f ( xk ) f ( xk 1 )]= [ f ( a) 2 f ( xk ) f (b)] 2 k 0 2 k 1 称上式为复化梯形公式，其余项可由式
Байду номын сангаас
因此 取节点数 n=29 步长 h
ba 1 n 29
对于复化 Gauss-Legendre 型求积公式有
(b a)h 4 (4) (1 0)h 4 1 Rn ( f ) f ( ) 96 = 10-7 4320 4320 2
所以
n 25.8
因此 取节点数 n=26 步长 h
1 2 (3) 3x dx ln 3 0
3
2
1 1 1 d x (2) 4 dx 2 2 0 x 1 1 x
(4) e xe x dx
2 1
2
实验要求 : (1) 若用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型 公式做计算，要求绝对误差限为 107 ，分别利用它们的余项 对每种算法做出步长的事前估计。 (2) 分别用复化梯形公式、 复化 Simpson 公式和复化 Gauss-Legendre 型公式作计算。 (3) 将计算结果与精确解做比较，并比较各种算法的计算量。
Rn ( f ) (b a) 2 '' (1 0)h2 2 1 h f ( ) 4e = 10-7 12 12 2
所以
h ba 1 1.4248 10-4 n n n 7018.53
因此 取节点数 n=7019 步长 h 对于复化 Simpson 求积公式有

xk 1
xk
f ( x) dx

b
a
f ( x) dx
h n 1 h h [ f (x 1 )+f ( x 1 )] k k 2 k 0 2 3 2 3 2 2
上式称为复化Gauss-Legendre I 型求积公式。 ba 于是当f ( x) C 4 [a, b]，h 时，复化Gauss-Legendre I 型求积公式的余项表达式为 n (b a )h 4 (4) Rn ( f )= f ( ), [a, b] 4320