许昌济源平顶山2021年高三第一次质量检测
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x ∈R ｜x －2＞0}，集合B ＝{x ｜x 2－2x －3＜0}，则A ∩B ＝ A ．（－∞，－1）∪（3，＋∞） B ．（3，＋∞） C ．（2，＋∞） D ．（2，3）
2．已知复数21i
z i i ＝
－＋（i 为虚数单位）
，则z 的虚部为 A ．－32 B ．32 C ．－32i D ．3
2
i
3．已知等差数列{n a }中，n S 为其前n 项和，3a ＝5，2a ·4a ＝21，则9S ＝ A ．－9 B ．81 C ．9或81 D ．－9或81
4．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪
实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当物体横向速度不为
零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p v f ϕ
λ
＝
，
其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光
测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长λ＝
1600nm （1nm ＝10－
9m ），测得某时刻频移f p ＝9．0×109（1／h ），则该时刻高铁的速度约等于 A ．360km ／h B ．340km ／h C ．320km ／h D ．300km ／h
5．设a ，b ，都是不等于1的正数，则“a ＞b ”是“log a 2＜log b 2”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 6．已知函数()5
3120212x x f x x x e e
＝－－
＋（－6＜x ＜6），其中e 是自然对数的底数，若
f （a 2）＋f （a －6）＜0，则实数a 的取值范围是
A ．（－3，2）
B ．（0，2）
C ．（－2，3）
D ．（0
） 7．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n ； ②若α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，则α∥β； ③若γ⊥α，γ⊥β，则α∥β； ④若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ．
其中正确命题的序号是
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．①④
8．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴正半轴上，点M 为圆O ：x 2＋y 2＝9与C
的一个交点，且｜MF ｜＝3，则C 的标准方程是
A ．y 2＝2x
B ．y 2＝4x
C ．y 2＝8x
D ．y 2＝16x 9．已知函数()()sin f x x ωϕ＝＋（ω＞0，｜ϕ｜＜
2
π），其图像相邻两条对称轴之间的距离为
2π，将函数y ＝f （x ）的图像向左平移8
π
个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数y ＝f （x ）在[0，2
π
]上的值域是
A ．[
－
2
，2] B ．[
－2，1] C ．[0
] D ．[0，1] 10．已知函数()()2
221log 11n x mx x f x x n n x ⎧⎪⎨⎪⎩－＋－，≤，
＝＋－－，＞，
为R 上的增函数，则2m －n 的取值范围为
A ．[0，2]
B ．（0，2）
C ．[0，2）
D ．（0，2]
11．2020年是脱贫攻坚战决胜之年．凝心聚力打赢脱贫攻坚战，确保全面建成小康社会．为
了如期完成脱贫攻坚目标任务，某县安排包括甲、乙在内的6个单位对本县的3个贫困村进行精准帮扶，要求每个村至少安排一个单位，每个单位只帮扶一个村，则甲、乙两个单位被安排在同一贫困村的概率为 A ．
13 B ．518 C ．29
D ．16
12．已知双曲线C ：22
221x y a b
－＝（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且斜
率为
1
2
的直线交双曲线的左、右支于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线恰过点F 2，则该双曲线的离心率为 A ．
15 B ．10 C ．15 D ．10 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设平面向量a ＝（2，－1），b ＝（x ，4042），若a 与b 的夹角为
2
π
，则x ＝__________． 14．二项式5
2ax x ⎛ ⎪⎝
⎭＋展开式中的常数项为15，则实数a ＝__________．
15．已知数列{n a }的前n 项和为n S ，对任意n N *
∈都有4n S ＝
33n a ＋，且60≤｜m S ｜≤200，则m 的取值集合为
__________．
16．已知，如图正三棱锥P —ABC 中，侧棱长为1，底面边长为2，
D 为AC 中点，
E 为AB 中点，M 是PD 上的动点，N 是平面
PCE 上的动点，则AM ＋MN 最小值是__________．
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17．（12分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知m ＝（cos 2A ，3sin 2
A
），n ＝（－2sin
2A ，2sin 2
A
），且m ·n ＝0． （1）求角A 的大小；
（2）点M 是BC 的中点，且AM ＝1，求△ABC 面积的最大值． 18．（12分）
如图所示，空问多面体ABCDEF 中，ADEF 为正方形，ABCD
为梯形，BC ∥AD ，∠ADC ＝
3
π
，BC ＝CD ＝1，AD ＝2，且 平面ADEF ⊥平面ABCD ． （1）求证：AC ⊥平面CDE ；
（2）求二面角E —BD —F 的余弦值． 19．（12分）
某智能机器人生产企业对一次性购买4台机器人的客户，推出了3种超过质保期后延期 2年内维修优惠方案：
方案1：不交维修延保金，维修1次费用6000元； 方案2：交纳延保金3000元，维修费用每次3000元；
方案3：交纳延保金5000元，在延保期内总共免费维修2次，超过2次每次维修费用 2000元．
通过大数据得知，每台智能机器人在2年延保期内没有故障的概率为
2
3
，每台机器人出 现1次故障的概率为
13
． 记X 表示这4台智能机器人超过质保期后延保的2年内，共需维修的次数． （1）求X 的分布列；
（2）以3个方案所需费用（所交延保金及维修费用之和结果，保留为整数）的期望值作
为决策依据，客户选择哪种延保方案更合算?请说明理由． 20．（12分）
已知P 点坐标为（0，2），点A ，B 分别为椭圆E ：22
221x y a b
＋＝（a ＞b ＞0）的左、右顶
点，直线AP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且3
2
PQ QA ＝．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过点M （1，0）的直线l 交椭圆E 于C ，D 两点，其中点C 在x 轴上方，设直线
AD 的斜率为k 1，直线BC 的斜率为k 2，探究1
2
k k 是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由． 21．（12分）
已知函数()2
122
x
e f x ax e ＝－－＋．
（1）若函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线与直线x ＋（2－e ）y ＋2021＝0垂直，讨论函数f （x ）的单调性；
（2）函数f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ）求实数a 的取值范围； （ii ）证明：0＜f （x 1）＜12
e －．
注：e 是自然对数的底数．
（二）选考题：共10分。
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做．则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l
的参数方程为12x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＋，（t 为参数）
，以坐标
原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C
的极坐标方程为
4
πρθ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
＝－．
（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）设点M （2，1），直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求
11
MB MA
＋的值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）＝｜x －a ｜＋2｜x ＋b ｜（a ＞0，b ＞0）的最小值为1． （1）求a ＋b 的值；
（2）若4a ＋b －mab ≥0恒成立，求实数m 的最大值．。