分式方程及其应用一、基本概念1．分式方程:分母中含有 的方程叫分式方程. 2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以 ，约去分母，化成整式方程； （2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入 ，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤： ① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列 ；（2）检验所求的解是否 .二、题型分类考点一：分式方程题型（一）分式方程去分母 1、解分式方程时，去分母后变形为（ ）。

A ．()()1322-=++x x B ．()1322-=+-x x C ．()()x x -=+-1322 D ．()()1322-=+-x x 2、下列方程是分式方程的是（ ）A ．0322=--x x B ．13-=x x C ．x x =1 D ．12=-πx 题型（二）解分式方程用常规方法解下列分式方程：25211111 332552323x x x x x x x x x -+=+==+---++（）；（2）；（）；题型（三）分式方程的解 1.已知方程261=311xax a x -=+-的解与方程的解相同，则a 等于（ ） A ．3 B ．－3 C. 2 D ．－22.方程13462232622+++++++x x x x x x -5=0的解是( )A. 无解B. 0 , 3C. -3D. 0, ±322311x x x3. 如果)2)(1(3221+-+=++-x x x x B x A 那么A-B 的值是( ) A ．34 B. 35 C. 41D. 24（C ）关于x 的方程c c x x 22+=+的两个解是c x c x 2,21==，则关于x 的方程1212-+=-+a a x x 的两个解是（ ） A ．a a 2,B ．12,1--a a C ．12,-a a D ． 11,-+a a a题型（四）用换元法解分式方程1.用换元法解分式方程152--x x +510102--x x =7时,如果设152--x x =y,那么原方程可化为( )A. y+710=y B. y+71=y C. 10y+71=yD. y+10y 2=7 2.解方程 （1）06)2(5)2(2=+---x x x x ； （2）解方程xx x x 32543222+=-+.题型（五）解分式方程组1.解方程组：11131129x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩题型（六）增根 1. 若解分式方程2111x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或D. 12或-2. 若方程323-=--x kx x 会产生增根，试求k 的值题型（七）求待定常数的值或取值范围1.关于x 的分式方程1131=-+-xx m 的解为正数，求m 的取值范围；2.若关于x 的分式方程的解为非负数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ＞1C ．a ≥1且a ≠4D ．a ＞1且a ≠43.若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

4.设c b a 、、是三个互不相同的正数，如果abb ac b c a =+=-，那么（ ）． A ．c b 23= B ．b a 23= C ．c b =2 D ．b a =2变式1：已知123421+=-=+x x y y x ,则)(323x y -的值是______________.变式2：已知d c b a 、、、为正整数，且cd a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是_________；b d的值是___________．对应练习： 一、选择题1、关于x 的方程的解是正数，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＞－1B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ＜－1D ．a ＜－1且a ≠－22．若解分式方程xx x x m x x 11122+=++-+产生增根，则m 的值是（ ） A. --12或 B. -12或 C. 12或D. 12或-3、已知,511ba b a +=+则b a a b +的值是（ ）A 、5B 、7C 、3D 、314、若x 取整数，则使分式1-2x 36x +的值为整数的x 值有 ( ) A 3个 B 4个 C 6个 D 8个 5、已知xBx A x x x +-=--1322，其中A 、B 为常数，那么A ＋B 的值为（ ） A 、－2 B 、2 C 、－4 D 、4 二、填空题 1、若分式方程x m x x -=--2524无解，那么m 的值应为__________,若已知132112-+=-++x x x B x A （其中A 、B 为常数），则A=__________，B=__________；2、___________,a +b +c ≠0，则k 的值为 . 3、方程的解是_____________已知关于x 的方程只有整数解，则整数a 的值为_____________ 4、已知d c b a 、、、为正整数，且cd a b c d a b )1(71,74-=+-=，则a c 的值是_________；b d的值是___________．5、设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值为___________,若与互为倒数，则x=__________.三、解答题1、解下列分式方程（1）x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）114112=---+x x x ；（4）x x x x -+=++45352、解下列方程（1）4441=+++x x x x ； （2）569108967+++++=+++++x x x x x x x x211x a x +=-121-x )4(31+x3、若关于x 的分式方程3132--=-x mx 有增根，求m 的值.4、若分式方程122-=-+x ax 的解是正数，求a 的取值范围.5、解关于x 的方程)0(≠+=--d c dcx b a x 提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .6、若分式方程xmx x -=--221无解，求m 的值。

7、若关于x 的方程11122+=-+-x xx k x x 不会产生增根，求k 的值。

8、若关于x 分式方程432212-=++-x x k x 有增根，求k 的值。

9、若关于x 的方程1151221--=+-+-x k xx k xx 有增根1=x ，求k 的值。

10、m 为何值时，关于x 的方程22432x mx x x -+-=+2会产生增根？当a 为何值时, )1)(2(21221+-+=+----x x ax x x x x 的解是负数?考点二：分式方程的实际应用 题型（一）行程问题 （1）一般行程问题1．某次列车平均提速20km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶400km ，提速后比提速前多行驶100km ，设提速前列车的平均速度为xkm/h ，下列方程正确的是（ ）A．=B．=C．=D．=2.从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的告诉公路。

某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

（2）水流问题1、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。

已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

2、一船自甲地顺流航行至乙地，用5.2小时，再由乙地返航至距甲地尚差2千米处，已用了3小时，若水流速度每小时2千米，求船在静水中的速度.题型（二）工程问题1．施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．﹣=22、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？3、某车间加工1200个零件，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？题型（三）利润（成本、产量、价格、合格）问题例1、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。

小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人（3）这个八年级的学生总数在什么范围内？若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？1.某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．（1）若每副乒乓球拍的价格为x元，请你用含x的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；（2）若购买的两种球拍数一样，求x2.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。

3. 某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售，为了不亏本，降价幅度不得超过d%，请用p表示d。

4.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。

小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？题型四：其他类型1、为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。