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2020高三数学上学期开学考试9月试题理-精装版
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【精选】20xx最新高三数学上学期开学考试9月试题理
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡
上.
2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数 (为虚数单位)，则的虚部为( )
A．－1 B． 0 C． 1 D． i
2．集合，,则
A． B． C． D
．
3．已知函数，则的大致图象为（）
A． B．
C． D．
4．已知平面向量, , 且, 则 ( )
A． B． C．
D．
5．甲乙丙丁戊五个老师要安排去4个地区支教，每个地区至少安排一人，则不同的安排方法共有（）种.
A． 150 B． 120 C． 180 D． 240
6．双曲线的渐近线方程为( )
A． B． C．
D．
7．在中，角，，的对边分别是，，，，，，那么的值是（）
A． B． C．
D．
8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，
利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 (参考数据：，，) ( )
A． B． C． D．
9．三棱锥A-BCD的所有顶点都在球的表面上，平面，，，则球的表面积为 ( )
A． B． C．
D．
10．若函数满足，且，则的解集为
A． B． C．
D．
11．过抛物线焦点的直线与抛物线交于，两点，与圆交于，两点，若有三条直线满足，则的取值范围为（）
A． B． C．
D．
12．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象．若函数在区间上单调递增，且的最大负零点在区间上，则的取值范围是
A． B． C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.、
13．曲线在处的切线方程为__________．
14．记“点满足（）”为事件，记“满足”为事件，若，则实数的最大值为_________．
15．已知中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且，，，则______．
16．正方体的外接球的表面积为，为球心，为的中点.点在该正方体
C D 的表面上运动，则使的点所构成的轨迹的周长等于__________．11
M
M ME CF
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第
17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．等比数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．
18．某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B类同学），现用分层抽样方法（按A类、B类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学．如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：
身高达标 身高不达标 总计 积极参加体育锻炼
40
不积极参加体育锻炼 15 总计
100
（1）完成上表；
（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（的观测值精确到0.001）．
参考公式： ，
参考数据：
P （K2≥k ） 0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19．某旅游景区的观景台P 位于高为的山峰上（即山顶到山脚水平面M 的垂直高度），山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB ，山坡面可近似地看作平面PAB ，且为以为底边的等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M 所成的二面角为，且．现从山脚的水平公路AB 某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段，第二段，第三段，…，第n －1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn －1Cn （如图所示），C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn －1Cn 与AB 所成的角均为，且
．
2km
2PO km =PAB ∆AB (090)
αα︒<<︒2sin 5α=
(090)ββ︒<<︒1
sin 4β=
（1）问每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米? 若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q 处修建上
山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？km
（2）若修建盘山公路，其造价为万元．修建索道的造价为万元．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少?xkm 2100
+⋅22a⋅/km
x a
20．已知是椭圆：（）与抛物线:的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点．
（Ⅰ）求椭圆及抛物线的方程；
（Ⅱ）设过且互相垂直的两动直线，与椭圆交于两点，与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.
21．已知.
（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；
（2）当时，，若的最小值是，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，曲线的参数方程为（为参
数）.
（1）求曲线，的普通方程；
（2）求曲线上一点到曲线距离的取值范围.
23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的取值范围.
理科数学试题参考答案
一、选择题
1．C 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C
7．B 8．C 9．D 10．A 11．B 12．C
二、填空题
13．14．15．5
16．425
三、解答题
17．解：
（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
18．解：
（Ⅰ）填写列联表如下：
身高达标身高不达标总计
积极参加体育锻炼 40 35 75 不积极参加体育锻炼 10 15 25 总计
50
50
100
（Ⅱ）K2的观测值为≈1.333＜3.841.
所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系． 19．解：
（1）在盘山公路C0C1上任选一点D ，作DE⊥平面M 交平面M 于E ，过E 作EF⊥AB 交AB 于F ，连结DF ，易知DF⊥C0F．sin∠DFE＝，sin∠DC0F＝．
25
∵DF ＝C0D ，DE ＝DF ，∴DE ＝C0D ，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍， 所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．
从山脚至半山腰，盘山公路为10km ．从半山腰至山顶，索道长2．5km ． （2）设盘山公路修至山高x （0＜x ＜2）km ，则盘山公路长为10xkm ，
索道长 （2－x ）km ．5
2
设总造价为y 万元，则y ＝＋ （2－x ）·2a＝（10－5x ）a ＋
10a ．
()2
100100x a +5
2
2
21
x +2
2
令y′＝ －5a ＝0，则x ＝1．2
101ax
x +2
当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y 单调递减；当x∈（1，2）时，y′>0，函数y 单调递增， ∴x ＝1，y 有最小值，
即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，最小值为15a万元．2 20．解：
（Ⅰ）抛物线：一点
，即抛物线的方程为，
又在椭圆：上
，结合知（负舍），，
椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（Ⅱ）由题可知直线斜率存在，设直线的方程，
①当时，，直线的方程，，故
②当时，直线的方程为，由得.
由弦长公式知 .
同理可得.
.
令，则，当时，，
综上所述：四边形面积的最小值为8.
21．解：
（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以
在上有解,即在上有解，所以，得,
故所求实数的取值范围是.
（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取.
令，即
，由得，令
.
当时，，
在上，；
在上，.所以.
令在上递减，所以，故方程有唯一解即,
综上，当满足的最小值为，故的最小值为.
22．解：
（1）：，
：，即.
（2）设，
到的距离，
∵，当时，即，，
当时，即，.
∴取值范围为.
23．解：
（1）当时，，
①当时，，解得；
②当时，，解得；
③当时，，解得；
综上可知，原不等式的解集为.（2）由题意可知在上恒成立，当时，，
从而可得，即，，
且，，
因此.。