准高三数学（理）入学测试卷时间:120分钟 满分:150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、设i 为虚数单位，则复数i2i+等于( ) A 、12i 55+ B 、12i 55-+ C 、12i 55- D 、12i 55--2、命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ，则p ⌝是( ) A 、2,11x x ∀∈+<R B 、2,11x x ∃∈+≤R C 、2,11x x ∃∈+<R D 、2,11x x ∃∈+≥R3．已知(1,2)=a ，(0,1)=b ，(,2)k =-c ，若(2)+⊥a b c ，则k =( )A 、2B 、8C 、2-D 、8-4、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A 、9 B 、10 C 、11 D 、2325、为了从甲乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将两人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( ) A 、x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 B 、x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 C 、x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D 、x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛6、已知实数,x y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为( )A 、3-B 、12C 、5D 、6 7、已知集合{}|4||1|5M x x x =-+-<，{}6N x a x =<< ,且()2,MN b =,则a b +=( )A 、6B 、7C 、8D 、9第5题图1 1 正视图侧视图俯视图第4题图8、对于函数()y f x =，如果存在区间[,]m n ，同时满足下列条件：①()f x 在[,]m n 内是单调的；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ，则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”．若函数11()(0)a f x a a x+=->存在“和谐区间”，则a 的取值范围是( ) A 、(0,1) B 、(0,2) C 、15(,)22 D 、(1,3)二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题(9～13题)9、已知函数()y f x =是奇函数，当0x >时，()f x =2log x ，则1(())4f f 的值等于 ． 10、已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是____________ ． 11、函数sin sin 3y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为 ，最大值是 ．12、某学生在参加政、史、地三门课程的学业水平考试中，取得A 等级的概率分别为54、53、52，且三门课程的成绩是否取得A 等级相互独立.记ξ为该生取得A 等级的课程数，其分布列如表所示，则数学期望ξE 的值为______________.13、观察下列不等式：1<<<；…则第5个不等式为 ．(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14、（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线3πθ=（ρ∈R ）垂直，则直线l 极坐标方程为 ．15、（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的 中点，直线l 过点M 分别交,AD AC 于点,E F ．若3AD AE =，则:AF FC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．第15题图F ABCD E Ml如图，在△ABC 中，45C ∠=，D 为BC 中点，2BC =.记锐角ADB α∠=．且满足7cos 225α=-． （1）求cos α； （2）求BC 边上高的值． 17、（本题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为122n n S +=-，数列{}n b 是首项为1a ，公差为(0)d d ≠的等差数列，且1311,,b b b 成等比数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设nn nb c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．第16题图BD A如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O 上一点，且BC =．点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．19、（本题满分14分）某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式35, (06)814, (6)k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩ 已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（1）求k 的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．第18题图设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，离心率e =过该椭圆上任一点P 作PQ x ⊥轴，垂足为Q ，点C 在QP 的延长线上，且||||QP PC =． （1）求椭圆的方程；（2）求动点C 的轨迹E 的方程；（3）设直线AC （C 点不同于,A B ）与直线2x =交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判断直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论． 21、（本题满分14分）设()xg x e =，()[(1)]()f x g x a g x =λ+-λ-λ，其中,a λ是常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的极值；（2）证明：对任意正数a ，存在正数x ，使不等式11x e a x--<成立；（3）设12,λλ∈+R ，且121λλ+=，证明：对任意正数21,a a 都有：12121122a a a a λλ≤λ+λ．准高三数学（理）入学测试参考答案一、选择题：每小题5分，满分40分．1—8: A 、C 、B 、C 、D 、C 、B 、A ；二、填空题：本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．9、1- 10、4± 11、2π（2分）（3分） 12、5913<14、2sin()16πρθ+=（或2cos()13πρθ-=、cos sin 1ρθθ=）15、1:4三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分12分） 解析：（1）∵27cos 22cos 125αα=-=-，∴29cos 25α=，∵(0,)2πα∈，∴3cos 5α=． -----------------5分（2）方法一、由（1）得4sin 5α==，∵45CAD ADB C α∠=∠-∠=-，∴sin sin()sin coscos sin444CAD πππααα∠=-=-=-----------------9分 在ACD ∆中，由正弦定理得：sin sin CD ADCAD C=∠∠，∴1sin 5sin CD CAD CAD⋅∠===∠， -----------------11分 则高4sin 545h AD ADB =⋅∠=⨯=． -----------------12分 方法二、如图，作BC 边上的高为AH在直角△ADH 中，由（1）可得3cos 5DB AD α==， 则不妨设5,AD m = 则3,4DH m AH m == -----------------8分 注意到=45C ∠，则AHC ∆为等腰直角三角形，所以CD DH AH += ，则134m m += -----------------10分 所以1m =，即4AH = -----------------12分17．（本题满分12分）解析：（1）当2n ≥，时11222n n n n n n a S S +-=-=-=， -----------------2分 又111112222a S +==-==，也满足上式，所以数列{n a }的通项公式为2n n a =． -----------------3分112b a ==，设公差为d ，则由1311,,b b b 成等比数列，得2(22)2(210)d d +=⨯+， -----------------4分 解得0d =（舍去）或3d =， ----------------5分 所以数列}{n b 的通项公式为31n b n =-． -----------------6分 （2）由（1）可得312123nn n b b b b T a a a a =++++123258312222nn -=++++， -----------------7分 121583122222n n n T --=++++， -----------------8分 两式式相减得1213333122222n n n n T --=++++-， -----------------11分 131(1)3135222512212n n n n n n T ---+=+-=--， -----------------12分18．（本题满分14分） 解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点， 又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．） 法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3AD DB=BC =得，3DB=，4AB =，BC =∴BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽，∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥． -----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， 在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=， 设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=，∴222CD DB BC +=，即CD AO ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ，∴PD CD ⊥， -----------------5分 由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分 由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ， ∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PBA --的平面角． -----------------10分 由（Ⅰ）可知CD =3PD DB==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1∴PB =2PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，tan CD DEC DE ∠===， ∴cos DEC ∠=C PB A --． -----------------14分法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． -----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD = ∴(0,0,0)D，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =-，(CD =，由CD ⊥平面PAB，知平面PAB 的一个法向量为(CD =． -----------------10分 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，即30330y y z -=-=⎪⎩，令1y =，则x =1z =， ∴,1)=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则cos 5||5CD CD θ⋅===⋅n |n|---------------13分 ∴二面角C PB A --的余弦值为5．-----------------14分 19．（本题满分14分）解析：（Ⅰ）由题意可得：22,06811,6k x x L x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩， -----------------2分 因为2x =时，3L =，所以322228k=⨯++-. -----------------4分 解得18k =. -----------------5分 （Ⅱ）当06x <<时，18228L x x =++-，所以 18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--≤（）．---------------8分 当且仅当182(8)8x x-=-，即5x =时取得等号． -----------------10分 当6x ≥时，115L x =-≤． -----------------12分 所以当5x =时，L 取得最大值6．所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元． -----------------14分解析：（1）由题意可得2a =，c e a ==c = -----------------2分 ∴2221b a c =-=， 所以椭圆的方程为2214x y +=． -----------------4分（2）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012x xy x =⎧⎪⎨=⎪⎩， -----------------6分 又220014x y +=，代入得221()142x y +=，即224x y +=．即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=． -----------------8分（3）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，而(2,)AC m n =+，(4,)AR t =，则4(2)n t m =+， ∴42nt m =+，∴点R 的坐标为4(2,)2nm +，点D 的坐标为2(2,)2nm +， -----------------10分∴直线CD 的斜率为222(2)22244nn m n nmnm k m m m -+-+===---，而224m n +=，∴224m n -=-， ∴2mn mk n n ==--， -----------------12分∴直线CD 的方程为()my n x m n -=--，化简得40mx ny +-=，∴圆心O 到直线CD的距离2d r ====，所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分解析：（1）∵()[(1)]()f x g x a g x λλλλ'''=+--， -----------------1分 由()0f x '>得，[(1)]()g x a g x λλ''+->，∴(1)x a x λλ+->，即(1)()0x a λ--<，解得x a <，-----------------3分故当x a <时，()0f x '>；当x a >时，()0f x '<；∴当x a =时，()f x 取极大值，但()f x 没有极小值．-----------------4分（2）∵111x x e e x x x----=， 又当0x >时，令()1x h x e x =--，则()10x h x e '=->，故()(0)0h x h >=， 因此原不等式化为1x e x a x--<，即(1)10x e a x -+-<， -----------------6分 令()(1)1x g x e a x =-+-，则()(1)x g x e a '=-+，由()0g x '=得：1x e a =+，解得ln(1)x a =+，当0ln(1)x a <<+时，()0g x '<；当ln(1)x a >+时，()0g x '>．故当ln(1)x a =+时，()g x 取最小值[ln(1)](1)ln(1)g a a a a +=-++， -----------------8分 令()ln(1),01a s a a a a =-+>+，则2211()0(1)1(1)a s a a a a '=-=-<+++． 故()(0)0s a s <=，即[ln(1)](1)ln(1)0g a a a a +=-++<．因此，存在正数ln(1)x a =+，使原不等式成立． -----------------10分（3）对任意正数12,a a ，存在实数12,x x 使11x a e =，22x a e =，则121122112212x x x x a a e ee λλλλλλ+=⋅=，12112212x x a a e e λλλλ+=+， 原不等式12121122a a a a λλλλ≤+11221212x x x x e e e λλλλ+⇔≤+，11221122()()()g x x g x g x λλλλ⇔+≤+ -----------------14分由（1）()(1)()f x g a λ≤-恒成立，故[(1)]()(1)()g x a g x g a λλλλ+-≤+-，取1212,,,1x x a x λλλλ===-=，即得11221122()()()g x x g x g x λλλλ+≤+，即11221212x x x x e e e λλλλ+≤+，故所证不等式成立． -----------------14分。