对称性在积分计算中的应用定理2.1.1[3] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于x 轴对称.如果函数),(y x f 是关于y 的奇函数，即),(),(y x f y x f -=-，D y x ∈),(， 则(,)0Df x y d σ=⎰⎰；如果),(y x f 是关于y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =-， D y x ∈),(，则1(,)2(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.其中1D 是D 在x 轴上方的平面区域.同理可写出积分区域关于y 轴对称的情形.则由定理2.1.1知32sin 0Dy xd σ=⎰⎰.由定理2.1.1可得如下推论.推论2 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，若积分区域D 既关于x 轴对称，又关于y 轴对称，则⑴ 若函数),(y x f 关于变量y x ,均为偶函数，则1(,)4(,)D D f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.其中1D 是区域D 在第一象限的部分，{}1(,)|0,0D x y D x y =∈≥≥.⑵ 若函数),(y x f 关于变量x 或变量y 为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰.当积分区域关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理 2.1.2[]4 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于原点对称.如果),(),(y x f y x f -=--，(,)x y D ∈，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰；如果),(),(y x f y x f =--，(,)x y D ∈，则12(,)2(,)2(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中{}1(,)|0D x y D x =∈≥，{}2(,)|0D x y D y =∈≥.为了叙述的方便，我们给出区域关于y x ,的轮换对称性的定义.定义 2.1.1 设D 为一有界可度量平面区域（或光滑平面曲线段），如果对于任意(,)x y D ∈，存在(,)y x D ∈，则称区域D （或光滑平面曲线段）关于y x ,具有轮换对称性.关于区域的轮换对称性，有如下定理.定理2.1.3[5] 设函数),(y x f 在xoy 平面上的有界区域D 上连续，且D 关于y x ,具有轮换对称性，则(,)(,)D Df x y d f y x d σσ=⎰⎰⎰⎰.定理2.2.1[6] 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于坐标平面0=x 对称，则(1) 若),,(z y x f 是关于变量x 的奇函数，则(,,)0f x y z dV Ω=⎰⎰⎰；(2) 若),,(z y x f 是关于变量x 的偶函数，则1(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.其中1Ω是Ω的前半部分，{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥.同理可写出Ω关于坐标平面0y =（或0z =）对称时的情形.与二重积分类似，我们也可得到如下结论.定理2.2.2 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于原点对称，则(1) 若),,(),,(z y x f z y x f -=---，(,,)x y z ∈Ω，则(,,)0f x y z dV Ω=⎰⎰⎰；(2) 若),,(),,(z y x f z y x f =---，(,,)x y z ∈Ω，则123(,,)2(,,)2(,,)2(,,)f x y z dV f x y z dV f x y z dV f x y z dV ΩΩΩΩ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 其中{}1(,,)|0x y z x Ω=∈Ω≥，{}2(,,)|0x y z y Ω=∈Ω≥，{}3(,,)|0x y z z Ω=∈Ω≥为了方便叙述，我们先给出一个空间几何体关于,,x y z 的轮换对称性定义. 定义2.2.1[7] 设Ω是一有界可度量的集几何体（Ω可为空间区域、空间曲线或曲面块），且它的边界光滑，若对任意的(,,)x y z ∈Ω，都存在(,,)y z x ∈Ω，存在(,,)z x y ∈Ω，则称Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.关于空间区域的轮换对称性，我们有如下的定理.定理2.2.3 设函数),,(z y x f 是定义在空间有界区域Ω上的连续函数，且Ω关于z y x ,,具有轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)f x y z dV f y z x dV f z x y dV ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.3.1 对称性在第一型曲线积分计算中的应用本文只讨论平面曲线，对于空间曲线有类似的结论.定理3.1.1[9] 设平面分段光滑曲线L 关于y 轴（或x 轴）对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则(1) 若),(y x f 为关于x （或y ）的奇函数，则(,)0Lf x y ds =⎰； (2) 若),(y x f 为关于x （或y ）的偶函数，则1(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰. 其中{}1(,)|0(0)L x y L x y =∈≥≥或.由定理3.1.1可得如下推论.推论3 设平面分段光滑曲线L 关于x 轴对称且关于y 轴对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则⑴ 若),(y x f 关于y x ,均为偶函数，则1(,)4(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰， 其中{}1(,)|0,0L x y L x y =∈≥≥.(2) 若),(y x f 关于x 或y 为奇函数，即),(),(y x f y x f -=-或),(),(y x f y x f -=-，(,)x y L ∈，则(,)0Lf x y ds =⎰. 当曲线L 关于原点对称时，我们可以得到如下的定理.定理3.1.2 设平面分段光滑曲线L 关于原点对称，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则(1) 若),(),(y x f y x f -=--，(,)x y L ∈，则(,)0Lf x y ds =⎰； (2) 若),(),(y x f y x f =--，(,)x y L ∈，则1(,)2(,)L L f x y ds f x y ds =⎰⎰. 其中1L 为L 的上半平面或右半平面.关于曲线的轮换对称性，我们有如下结论.定理3.1.3 设平面分段光滑曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，且),(y x f 在L 上有定义、可积，则(,)(,)L Lf x y ds f y x ds =⎰⎰.定理3.2.1 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，),(),,(y x Q y x P 为定义在L 上的连续函数；⑴ 当L 关于x 轴对称时：① 若),(y x P 是关于y 的偶函数，则0),(=⎰Ldx y x P ； 若),(y x P 是关于y 的奇函数，则1(,)2(,)L L P x y dx P x y dx =⎰⎰， ② 若),(y x Q 是关于y 的奇函数，则0),(=⎰Ldy y x Q ； 若),(y x Q 是关于y 的偶函数，则1(,)2(,)L L Q x y dy Q x y dy =⎰⎰； 其中1L 是L 位于x 轴上方的部分.⑵ 当L 关于y 轴对称时：① 若),(y x P 是关于x 的奇函数，则0),(=⎰Ldx y x P ； 若),(y x P 是关于x 的偶函数，则1(,)2(,)L L P x y dx P x y dx =⎰⎰； ② 若),(y x Q 是关于x 的偶函数，则0),(=⎰Ldy y x Q ； 若),(y x Q 是关于x 的奇函数，则1(,)2(,)L L Q x y dy Q x y dy =⎰⎰； 其中1L 是L 位于y 轴右方的部分.⑶ 当L 关于原点对称时：① 若),(),,(y x Q y x P 关于),(y x 为偶函数，即),(),(y x P y x P =--且),(),(y x Q y x Q =--，(,)x y L ∈，则0),(),(=+⎰dy y x Q dx y x P L； ② 若),(),,(y x Q y x P 关于),(y x 为奇函数，即),(),(y x P y x P -=--且),(),(y x Q y x Q -=--，则1(,)(,)2(,)(,)L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy +=+⎰⎰. 其中1L 为对于轮换对称性，我们有如下定理.定理3.2.2 设L 为平面上分段光滑的定向曲线，),(),,(y x Q y x P 为定义在L 上的连续函数.若曲线L 关于y x ,具有轮换对称性，则⎰⎰=L Ldy x y P dx y x P ),(),(. L 的右半平面或上半平面部分.4.1 对称性在第一型曲面积分计算中的应用在第一型曲面积分的计算中，经常会碰到积分曲面关于某个坐标面对称的情形，与前几节类似，我们可以利用积分区域的对称性（关于坐标面、原点、轮换对称）及被积函数的奇偶性来简化第一型曲面积分的计算，下面给出相应的定理及例题.定理4.1.1[11] 设分片光滑曲面∑关于坐标面0=x 对称，且),,(z y x f 在∑上有定义、可积，则⑴ 若),,(z y x f 为关于x 的奇函数，则(,,)0f x y z dS ∑=⎰⎰；⑵ 若),,(z y x f 为关于x 的偶函数，则1(,,)2(,,)f x y z dS f x y z dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰.其中{}1(,,)|0x y z x ∑=∈∑≥.同理可写出曲面∑关于坐标面0=y （或0=z ）对称的相应结论.对于轮换对称性，我们有如下定理.定理4.1.2 设分片光滑曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，且),,(z y x f 在∑上有定义、可积，则(,,)(,,)(,,)f x y z dS f y z x dS f z x y dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.4.2对称性在第二型曲面积分计算中的应用与第二型曲线积分一样，我们可以根据第二型曲面积分积分的定义及物理背景（计算流体流量），同样可以得到对称性在第二型曲面积分计算中的相关结论.定理4.2.1[12] 设积分曲面∑光滑或分段光滑，且12∑=∑+∑，曲面1∑和2∑的法线方向相反，若曲面1∑和2∑关于xoy 面对称，则⑴ 若),,(),,(z y x R z y x R =-，则0),,(=⎰⎰∑dxdy z y x R ；⑵ 若),,(),,(z y x R z y x R -=-，则1(,,)2(,,)R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.其中1∑为∑的0≥z 的部分.关于轮换对称性，我们有如下定理.定理4.2.2 设积分曲面∑光滑或分段光滑，函数),,(z y x P 在曲面∑上有定义、可积，若积分曲面∑关于z y x ,,具有轮换对称性，则(,,)(,,)(,,)P x y z dydz P y z x dzdx P z x y dxdy ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰.。