求递推数列通项公式的十种策略例析递推数列的题型多样，求递推数列的通项公式的方法也非常灵活，往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决，亦可采用不完全归纳法的方法，由特殊情形推导出一般情形，进而用数学归纳法加以证明，因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。
笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略，它们是：公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。
仔细辨析递推关系式的特征，准确选择恰当的方法，是迅速求出通项公式的关键。
一、利用公式法求通项公式例1 已知数列}a {n 满足n n 1n 23a 2a ⋅+=+，2a 1=，求数列}a {n 的通项公式。
解：n n 1n 23a 2a ⋅+=+两边除以1n 2+，得232a 2a nn 1n 1n +=++，则232a 2a n n 1n 1n=-++， 故数列}2a {n n 是以1222a 11==为首，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得23)1n (12a nn -+=，所以数列}a {n 的通项公式为n n 221n 23(a -=。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 23a 2a ⋅+=+转化为232a 2a nn1n 1n =-++，说明数列}2a {nn 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出23)1n (12a n n -+=，进而求出数列}a {n 的通项公式。
二、利用累加法求通项公式例2 已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由1n 2a a n 1n ++=+ 得1n 2a a n 1n +=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---1)1n (2n )1n (21)1n (]12)2n ()1n [(21)112()122(]1)2n (2[]1)1n (2[+-+-⋅=+-++++-+-=++⋅++⋅+++-++-= 所以数列}a {n 的通项公式为2n n a =评注：本题解题的关键是把递推关系式1n 2a a n 1n ++=+转化为1n 2a a n 1n +=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例3 已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：由132a a n n 1n +⋅+=+ 得132a a n n 1n +⋅=-+则112232n 1n 1n n n a )a a ()a a ()a a ()a a (a +-+-++-+-=---3)1n ()3333(23)132()132()132()132(122n 1n 122n 1n +-+++++=++⋅++⋅+++⋅++⋅=----所以1n 32n 31332a n nn -+=++--⋅= 评注：本题解题的关键是把递推关系式132a a n n 1n +⋅+=+转化为132a a n n 1n +⋅=-+，进而求出112232n 1n 1n n a )a a ()a a ()a a ()a a (+-+-++-+---- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例4 已知数列}a {n 满足3a 132a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：132a 3a n n 1n +⋅+=+两边除以1n 3+，得1n nn 1n 1n 31323a 3a +++++=，则1n nn 1n 1n 31323a 3a ++++=-， 故3a )3a 3a ()3a 3a ()3a a a ()a a 3a (3a 111223n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n nn nn +-++-+-+-=---------- 333132()3132(3132()3132(22n 1n n +++++++++=-- 1)3131313131(3)1n (222n 1n n n +++++++-=-- 因此n1n n n n 321213n 2131)31(313)1n (23a ⋅-+=+--⋅+-=-， 则213213n 32a n n n -⋅+⋅⋅=评注：本题解题的关键是把递推关系式132a 3a n n 1n +⋅+=+转化为1n n n1n 1n 31323a 3a ++++=-，进而求出)3a 3a ()3a 3a ()3a 3a (3n 3n 2n 2n 2n 2n 1n 1n 1n 1n n n -----------+-+-+…+3a )3a 3a (11122+-，即得数列}3a {n n的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。
三、利用累乘法求通项公式例5 已知数列}a {n 满足3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：因为3a a 5)1n (2a 1n n 1n =⋅+=+，，所以0a n ≠，则n n1n 5)1n (2a a +=+， 则112232n 1n 1n n n a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅=---3]5)11(2[]5)12(2[]5)12n (2[]5)11n (2[122n 1n ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅+-⋅+-=-- 35]23)1n (n [212)2n ()1n (1n ⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=+++-+--所以数列}a {n 的通项公式为!n 523a 2)1n (n 1n n⋅⋅⋅=--评注：本题解题的关键是把递推关系n n 1n a 5)1n (2a ⋅+=+转化为n n1n 5)1n (2a a +=+，进而求出112232n 1n 1n n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅--- ，即得数列}a {n 的通项公式。
例6 （2004年全国15题）已知数列}a {n 满足)1n (a 3a 2a a 1a 321n 1-++++== ， )2n (a )1n (1n ≥-+-，则}a {n 的通项⎪⎩⎪⎨⎧≥==2n 2!n 1n 1a n ，，解：因为)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=-①所以n 1n 3211n na a )1n (a 3a 2a a +-++++=-+②所以②式－①式得n n 1n na a a =-+ 则)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+则)2n (1n a a n1n ≥+=+ 所以2232n 1n 1n n n a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=--- 22a 2!n a ]34)1n (n [⋅=⋅⋅⋅⋅-= ③由)2n (a )1n (a 3a 2a a 1n 321n ≥-++++=- ，取n=2得212a 2a a +=，则12a a =，又知1a 1=，则1a 2=，代入③得2!n n 5431a n =⋅⋅⋅⋅⋅= 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式)2n (a )1n (a n 1n ≥+=+转化为1n a a n1n +=+（n ≥2），进而求出2232n 1n 1n n a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅--- ，从而可得当n ≥2时n a 的表达式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
四、利用待定系数法求通项公式例7 已知数列}a {n 满足6a 53a 2a 1n n 1n =⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：设)5x a (25x a n n 1n 1n ⋅+=⋅+++④将n n 1n 53a 2a ⋅+=+代入④式，得n n 1n n n 5x 2a 25x 53a 2⋅+=⋅+⋅++，等式两边消去n a 2，得n 1n n 5x 25x 53⋅=⋅+⋅+，两边除以n 5，得x 25x 3=⋅+，则x=－1，代入④式，得)5a (25a n n 1n 1n -=-++⑤由1565a 11=-=-≠0及⑤式，得05a nn ≠-，则25a 5a nn 1n 1n =--++，则数列}5a {n n -是以15a 11=-为首项，以2为公比的等比数列，则1n n n 215a -⋅=-，故n 1n n 52a +=-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式n n 1n 53a 2a ⋅+=+转化为)5a (25a n n 1n 1n -=-++，从而可知数列}5a {n n -是等比数列，进而求出数列}5a {n n -的通项公式，最后再求出数列}a {n 的通项公式。
例8 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑥将425a 3a n n 1n +⋅+=+代入⑥式，得)y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +⋅+=+⋅++⋅++整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +⋅=++⋅+。
令⎩⎨⎧=+=+y 3y 4x 3x 25，则⎩⎨⎧==2y 5x ，代入⑥式，得)225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑦由013121225a 11≠=+=+⋅+及⑦式，得0225a nn ≠+⋅+，则3225a 225a nn 1n 1n =+⋅++⋅+++，故数列}225a {n n +⋅+是以13121225a 11=+=+⋅+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -⋅=+⋅+，则225313a n 1n n -⋅-⋅=-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式425a 3a n n 1n +⋅+=+转化为)225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++，从而可知数列}225a {n n +⋅+是等比数列，进而求出数列}225a {n n +⋅+的通项公式，最后再求数列}a {n 的通项公式。
例9 已知数列}a {n 满足1a 5n 4n 3a 2a 12n 1n =++⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。
解：设z )1n (y )1n (x a 21n ++++++)z yn xn a (22n +++=⑧将5n 4n 3a 2a 2n 1n ++⋅+=+代入⑧式，得z )1n (y )1n (x 5n 4n 3a 222n +++++++⋅⋅+ )z yn xn a (22n +++=，则z2yn 2xn 2a 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(a 22n 2n +++=+++++++++等式两边消去n a 2，得z 2yn 2xn 2)5z y x (n )4y x 2(n )x 3(22++=++++++++，则得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++=+z25z y x y 24y x 2x2x 3，则⎪⎩⎪⎨⎧===18z 10y 3x ，代入⑧式，得18)1n (10)1n (3a 21n ++++++)18n 10n 3a (22n +++=⑨由0323111811013a 21≠=+=+⋅+⋅+及⑨式，得018n 10n 3a 2n ≠+++则218n 10n 3a 18)1n (10)1n (3a 2n 21n =+++++++++，故数列}18n 10n 3a {2n +++为以323111811013a 21=+=+⋅+⋅+为首项，以2为公比的等比数列，因此1n 2n 23218n 10n 3a -⋅=+++，则18n 10n 32a 24n n ---=+。