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量子力学考试题

量子力学考试题(共五题,每题20分)1、扼要说明:(a )束缚定态的主要性质。

(b )单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符(厄米算符)∧F ,∧G 不对易,令∧K =i (∧F ∧G -∧G ∧F ),试证明:(a )∧K 的本征值是实数。

(b )对于∧F 的任何本征态ψ,∧K 的平均值为0。

(c )在任何态中2F +2G ≥K3、自旋 /2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用,已知其能量算符为S H ˆˆω=∧H =ω∧z S +ν∧x S (ω,ν>0,ω»ν)(a )求能级的精确值。

(b )视ν∧x S 项为微扰,用微扰论公式求能级。

4、质量为m 的粒子在无限深势阱(0<x<a )中运动,处于基态。

写出能级和波函数,并计算平均值x ,x p ,x xp5、某物理体系由两个粒子组成,粒子间相互作用微弱,可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种:a ψ(→r ),b ψ(→r ),c ψ(→r ),试分别就以下两种情况,求体系的可能(独立)状态数目。

(i )无自旋全同粒子。

(ii )自旋 /2的全同粒子(例如电子)。

量子力学考试评分标准1、(a ),(b )各10分(a )能量有确定值。

力学量(不显含t )的可能测值及概率不随时间改变。

(b )(n l m m s )→(n’ l’ m’ m s ’) 选择定则:l ∆=1±,m ∆=0,1±,s m ∆=0 根据:电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’,n l m m s ≠0 2、(a )6分(b )7分(c )7分 (a )∧K 是厄米算符,所以其本征值必为实数。

(b )∧F ψ=λψ,ψ∧F =λψ K =ψ∧K ψ=iψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ =i λ{ψ∧G ψ-ψG ψ}=0 (c )(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0 ∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0,即2F +2G ≥K3、(a),(b)各10分(a) ∧H =ω∧z S +ν∧x S =2 ω[1001-]+2 ν[0110]=2 [ωννω-]∧H ψ=E ψ,ψ=[b a ],令E =2λ,则[λωννλω---][b a ]=0,︱λωννλω---︱ =2λ-2ω-2ν=0 λ=±22νω+,E 1=-222νω+,E 2=222νω+当ω»ν,22νω+=ω(1+22ων)1/2≈ω(1+222ων)=ω+ων22E 1≈-2 [ω+ων22],E 2 =2[ω+ων22](b )∧H =ω∧z S +ν∧x S =∧H 0+∧H ’,∧H 0=ω∧z S ,∧H ’=ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±,取E 1(0)=-ω 21,E 2(0)=ω 21相当本征函数(S z 表象)为ψ1(0)=[10],ψ2(0)=[01]则∧H ’之矩阵元(S z 表象)为'11H =0,'22H =0,'12H ='21H =ν 21 E 1=E 1(0)+'11H +)0(2)0(12'21E E H-=-ω 21+0-ων2241=-ω21-ων241 E 2=E 2(0)+'22H +)0(1)0(22'12E E H -=ω 21+ων2414、E 1=2222ma π,)(1x ψ=⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00x =dx x a ⎰021ψ=2sin 202a dx a x x a a=⎰π x p =-i ⎰=a dx dx d11ψψ-i ⎰=aa x d a 020)sin 21(2π x xp =-i ⎰⎰-=aaa xd a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ =⎰-a a x xd a i 02)(sin 1π =0sin [12a a x x a i π --⎰adx a x 02]sin π=0+⎰=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、(i ),(ii )各10分(i )s =0,为玻色子,体系波函数应交换对称。

),(21→→r r ψ有:)(1→r a ψ→)(2r a ψ,)(1→r b ψ→)(2r b ψ,)(1→r c ψ→)(2r c ψ,)]()()()([212121→→→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。

(ii )s =21,单粒子态共6种:⎥⎦⎤⎢⎣⎡01a ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10a ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡01b ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10b ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡01c ψ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡10c ψ。

任取两个,可构成体系(交换)反对称态,如⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→→→2211221101)(01)(01)(01)(21r r r r a b b a ψψψψ=[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→→r r a b ψψ210101⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 体系态共有1526=C 种或:a ψ,b ψ,c ψ三种轨道态任取两个,可构成一种轨道对称态[21)()(21→→r r b a ψψ+)]()(21→→r r a b ψψ及一种反对称态[21)()(21→→r r b a ψψ-)]()(21→→r r a b ψψ,前者应与自旋单态x 00相乘,而构成体系反对称态,共3种。

后者应与自旋三重态x 11, x 10 ,x 1-1相乘而构成体系反对称态,共3⨯3=9种。

但轨道对称态还有)(1→r a ψ→)(2r a ψ型,共3种型,各与自旋单态配合,共3种体系态,故体系态共3+3+9=15种。

量 子 力 学 习 题第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反比,即 λm T=b (常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。

1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。

1.3 氦原子的动能是E=3kT/2(k 为玻耳兹曼常数),求T =1K 时,氦原子的德布罗意波长。

1.4 利用玻尔-索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量;(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。

已知外磁场H =10特斯拉,玻尔磁子M B =9×10-24焦耳/特斯拉,试计算动能的量子化间隔∆E ,并与T =4K 及T =100K 的热运动能量相比较。

1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。

如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少?第二章 波函数和薛定谔方程2.1 由下列两定态波函数计算几率流密度: (1) ψ1=e ikr /r , (2) ψ2=e -ikr /r .从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波,ψ2表示向内(即向原点)传播的球面波。

2.2 一粒子在一维势场ax a x x x U >≤≤<⎪⎩⎪⎨⎧∞∞=00,,0,)(中运动,求粒子的能级和对应的波函数。

2.3 求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

2.4 一粒子在一维势阱a x ax U x U ≤>⎩⎨⎧>=,0,0)(0中运动,求束缚态(0<E <U 0)的能级所满足的方程。

2.5 对于一维无限深势阱(0<x <a )中的定态ψn (x ),求x 、2x 和∆x ,并与经典力学结果比较。

2.6 粒子在势场xa a x x V x V ≤<<≤⎪⎩⎪⎨⎧-∞=00,0,,)(0中运动,求存在束缚态(E <0)的条件( ,m ,a ,V 0关系)以及能级方程。

2.7 求二维各向同性谐振子[V =21k (x 2+y 2)]的能级,并讨论各能级的简并度。

2.8 粒子束以动能E =m k 222 从左方入射,遇势垒00,,0)(0≥<⎩⎨⎧=x x V x V求反射系数、透射系数。

E <V 0及E >V 0情形分别讨论。

2.9 质量为m 的粒子只能沿圆环(半径R )运动,能量算符22222ˆϕd d mR H-=,ϕ为旋转角。

求能级(E n )及归一化本征波函数ψn (ϕ),讨论各能级的简并度。

第三章 基本原理3.1 一维谐振子处在基态tix e x ωαπαψ222122)(--=,求:(1) 势能的平均值2221x U μω=;(2) 动能的平均值μ22p T =; (3) 动量的几率分布函数。

3.2 设t =0时,粒子的状态为ψ(x )=A [sin 2kx +21cos kx ],求此时粒子的平均动量和平均动能。

3.3 在一维无限深势阱中运动的粒子,势阱的宽度为a ,如果粒子的状态由波函数ψ(x )=Ax (a-x )描写,A 为归一化常数,求粒子能量的几率分布和能量的平均值。

3.4 证明:如归一化的波函数ψ(x )是实函数,则<x p x >=i /2;如ψ=ψ(r )(与θ,ϕ无关),则<r r ∂∂>= -3/2。

3.5 计算对易式[x , L y ],[p z , L x ],并写出类似的下标轮换式(x →y , y →z , z →x )。

3.6 证明算符关系p i p L L p r i r L L r 22=⨯+⨯=⨯+⨯3.7 设F 为非厄米算符(F +≠F ),证明F 可以表示成A +iB 的形式,A 、B 为厄米算符。

求A 、B 与F 、F +之关系。

3.8 一维谐振子(V 1=21kx 2)处于基态。

设势场突然变成V 2=kx 2,即弹性力增大一倍。

求粒子在V 2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。

3.9 有线性算符L 、M 、K ,[L , M ]=1,K =LM 。

K 的本征函数、本征值记为ψn 、λn (n=1, 2, ...)。

证明:如函数M ψn 及 L ψn 存在,则它们也是K 的本征函数,本征值为(λn ±1)。

3.10 证明:如H =2p /2m +V (r ), 则对于任何束缚态<p >=0。

3.11 粒子在均匀电场中运动,已知H =2p /2m -q εx 。

设t =0时x =0,x p =p 0,求x (t ),x p (t )。

3.12 粒子在均匀磁场B=(0, 0, B )中运动,已知H =2p /2m -ωL z ,ω=qB /2mc 。

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