2分布概率密度
f2(x)
1
2n2(n2)
n1 x
x2 e 2,
0,
x0 x0
图6-1 2(n)分布的概率密度曲线
可以看出，随着n的增大，的图形趋于“平缓”， 其图形下区域的重心亦逐渐往右下移动．
6.3.3 统计中的常用分布
2分布具有下面性质：
(1) (可加性) 设 12, 是22 两个相互独立的随机变量，
6.3.2常用的统计量
设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，
xn为样本观测值，(1) 样本均值1n X n i1 Xi
常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测
值为
x
1 n
n i1
xi
6.2.1 统计量
(2) 样本方差
S2n11i n1(Xi X)2
n11in1
Xi2 nX2
且 X1X2X3 与 X4X5X6 相互独
立，显然应有c>0, 且
c Y [c ( X 1 X 2 X 3 ) ] 2 [c ( X 4 X 5 X 6 ) ] 2
c(X 1X 2X 3)~N (0 ,3 c), c(X 4X 5X 6)~N (0 ,3 c)
于是当3c=1，即c=1/3时，cY是两个相互独立且服 从N(0,1)的随机变量的平方和，由定义得
(31) 2n
i1
【例】设总体X~N（0,1），X1，X2，…，X6是来 自总体X的样本。又假设
Y ( X 1 X 2 X 3 ) 2 ( X 4 X 5 X 6 ) 2
试确定c, 使得cY服从 2 分布。 解： 由已知条件及正态分布的独立可加性，有
X 1X2X 3~N (0,3) X 4X 5X 6~N (0,3)
6.3.3 统计中的常用分布
一. 2分布
定义6.3 设X1，X2，…，Xn为相互独立的随机变量，
它们都服从标准正态N(0，1)分布，则称随机变量
n
2
X
2 i
i1
服从自由度为n的2分布，记为2 ～ 2(n)．
此处自由度指的是2中包含独立变量的个数．
2(n)的概率密度为 1
() x1exd,x0 0
cY ~ 2(2)
故当c=1/3时， cY服从 2 分布。
6.3.3 统计中的常用分布
二. t分布
定义6.4 设X ～ N(0，1)，Y ～ 2(n)，X与Y独立，
则称随机变量
T
X Yn
服从自由度为n的t分布，
又称为学生氏分布(Student distribution)，
记为T ～ t(n)． t(n)的概率密度为
(5) 样本k阶中心矩
显然
Bk
1n ni1(Xi
X)k
，(k = 2，3，…)
A1 X,
B2
1n ni1(Xi
X)2
Ak和Bk的观测值分别记为
ak
1 n
n i 1
xik ,
bk
1n ni1
(xi
x)k
6.3 统计量与抽样分布
6.3.3 统计中的常用分布
统计量的分布称为抽样分布．为了研究抽样分 布，先研究数理统计中三种重要的分布．
三. F分布
定义6.5 设X～2(n1)，Y～2(n2)，且X与Y独立，
称 记随为机F～变F量(n1F，nY2X)．nn21服从自由度为(n1，n2)的F分布， 可以证明的概率密度函数为
n1
fF
(x)
n1 2
0,
n1 n2 2
n2 2
n1 n2
2
1
n1 n2
n1 1
x2
n1n2
2 x
,
x0 x0
f2(x)2n2(n2)
n1 x
x2 e 2
,
其中()称为伽马函数，
0,
x0 x0
(1/ 2) , ( n 1 / 2 ) ( n 1 / 2 ) ( n 3 / 2 ) 1 / 2 ( 1 / 2 ) ( 2 n 1 ) ! !/ 2 n
6.3.3 统计中的常用分布
6.3(统计量与抽样分布)
6.3.1 统计量
【例】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～
N(， 2)，其中 、 2为未知参数，则
X1，
1 2
X1
1 3
X2
,
均为统计量，
min{ X1，X2，…，Xn }
但诸如
1
n
n i1
(Xi
)2,
X1
等均不是统计量，因它含有未知参数 或．
下面介绍几种常用的统计量
且
1 2 ~ 2 ( n 1 )2 2 ,~ 2 ( n 2 ) 则 ,1 2 2 2 ~ 2 ( n 1 n 2 )
(2) 设 2~2 (n )则 ,E （ 2 ） n ,D (2 ) 2 n .
证明 (1) 由2分布的定义易得证明．
(2) 因为 2 ~ 2(n ), 相互独立、同分布于
n
N(0，1)的随机变量X1，X2，…，Xn，使
2
X
2 i
i1
则
n
n
n
E(2)E( Xi2)
E
(
X
2 i
)
D(Xi) n
i1
i1
i1
6.3.3 统计中的常用分布
由于Xi独立，且注意到N(0，1)的四阶矩为3，可得
n
D(2) D(Xi2)
i1 n
{E(Xi4)[E(Xi2)]2}
i1
n
6.3.3 统计中的常用分布
图6-5 F分布的概率密度曲线
由F分布的定义
F
X Y
n1 n2
容易看出， 若F ～F(n1，n2)，则1/F ～F(n2，n1)．
【例】设总体 X ~ N(0,22)，而X1，X2，…，X15是来自总体X
ft (x)
n1 2
n n
1
x2 n
n1
2 ,
2
x
图6-3 t分布的概率密度曲线
6.3.3 统计中的常用分布
ft (x)
n1 2
n n
1
x2 n
n1 2
,
2
x
图6-3 t分布的概率密度曲线
显然t分布的概率密度是x的偶函数，图6-3描绘了 n = 1，3，7时t(n)的概率密度曲线．作为比较，还 描绘了N(0，1)的概率密度曲线．
6.3.3 统计中的常用分布
可看出，随着n的增大，t(n)的概率密度曲线与
N(0，1)的概率密度曲线越来
越接近．
可以证明t分布具有下面性质：
ft(x)
1
x2
e2
2
,n
即当n趋向无穷时,t(n)近似于标准正态分布N(0,1)． 一般地，若n > 45，就可认为t(n)基本与N(0，1)相
差无几了．
6.3.3 统计中的常用分布
(3) 样本标准差
S S2
样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散 程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量. 观测值分别为
s2
1n n1i1(xi
x)2,
s s2
n11i n1(xi x)2
6.2.1 统计量
(4) 样本k阶原点矩（简称样本k阶矩）
Ak
1 n
n i1
Xik
，(k
=
1，2，…)