F(n,m)
例1 证明 F1(n,m)F(1m,n)
证
P(FF1(n,m))PF1 F1(1n,m)
1PF1F1(1n,m) 1
故
PF1F1(1n,m)
由于1 ~F(m,n) F
因而 F1(1n,m)F(m,n)
例2 证明： [t1 2(n)2]F(1,n)
证 设 X~T(n),X G ,G~N(0,1)
的简单随机样本, 求统 计量
X1X2 X9 Y12 Y22 Y126
所服从的分布.
解 X 1X 2 X 9~N (0 ,9 1)6
3 14(X 1X 2 X 9)~N (0,1)
1 3Y i ~N (0,1),i1,2, ,16
i11613Yi 2 ~2(16)
从而

X1 X2 X9
Y12 Y22 Y126
P7.4 i210Xi23.5 2
P i2 1 0X i 27 .4 P i2 1 0X i 2 3.2 5
0 . 9 0 9 . 0 0 5 2 . 95 7
例5 设X 与Y 相互独立， X ~ N(0,16), Y ~ N(0,9) ,
X1, X2 ,…, X9 与 Y1, Y2 ,…, Y16 分别是取自 X 与 Y
1 3 4
X1
X
2
16 i 1
1 3
Yi
2
X9
~t(16)
16
例7 设 X1,X2, ,Xn是来自正态总体N ( , 2 )
的简单随机样本, X 是样本均值,
S12n11in1(Xi X)2,
S32n11i n1(Xi )2,
S22
1 n
n i1
(Xi
X)2,
S42 n1in1(Xi )2,
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
6.2 正态样本统计量的抽样分布
6.2.1 正态分布
6.2.2 2 (n) (卡方)分布
6.2.3 t分布(学生分布)
6.2.4 F分布 6.2.5 正态总体抽样分布的某些结论 6.2.6 Excel实现
确定统计量的分布—— 抽样分布, 是数理统计 的基本问题之一. 采用求随机向量的函数的分布的方 法可得到抽样分布.由于样本容量一般不止 2 或 3 (甚至还可能是随机的), 故计算往往很复杂, 有时还 需要特殊技巧或特殊工具.
为参数为1/2的指数分布.
0.4 0.3 0.2 0.1
2
4
6
8
10
一般地, 自由度为 n 的 2(n) 的密度函数为
f (x)
1 2x n21
e x , n 22 (n2)
其中，
0,
(x) tx1etdt 0
x0 x0
在x > 0 时收敛，称为 函数，具有性质
(x 1) x(x),
(1) 1, (1/ 2)
0,
t0
0.8
0.6
m = 10, n = 4
0.4
m = 10, n = 10
0.2
m = 10, n = 15
1
2
3
4
5
6
0.8
0.6
m = 4, n =10
m = 10, n =10
0.4
m = 15, n =10
0.2
1
2
3
4
5
6
F 分布的性质
1 若 F~F (n,m ),则 1~F (m ,n) F
2 F(n,m)的上 分位 F(数 n,m)有表:可查 P(FF(n,m))
例如 F0.05 ( 4,5) 5. 19 0.6
但
F0.95 (5, 4) ?
0.5 0.4
事实上,
0.3
F1(n,m)F(1m,n)
0.2 0.1
故 F0.95(5,4)F0.015(4,5)5.119
•
123456
则 E (X i) 0 ,D (X i) 1 ,E (X i2) 1
E2(n) E n Xi2n
i1
E(Xi4)
1 2
x4ex22dx3
D (X i2) E (X i4) E 2(X i2) 2
D2(n) D n Xi22n i1
6.2.3 t 分布 (Student 分布)
定义 设X~N(0,1),Y~2(n),X , Y 相互独立,
XY~N(12,n2m 2)
(XY)(1 2) ~N(0,1) 2 2
nm
(n 1 2 )S 1 2~2(n 1 ), (m 1 2 )S 2 2~2(m 1 )
(n 12)S12(m 12)S22 ~2(nm 2)
XY 与 (n 12)S12(m 12)S22 相互独立
(X Y ) (1 2)
(n 1) n! (nN)
0.4
n=2
2 (分n)布
密度函数图
0.3
n=3
0.2
n=5
n = 10
0.1
n = 15
5 10 15 20 25
2 (n) 分布的性质
1 E 2 ( n ) n ,D 2 ( n ) 2 n
2 若X12(n1),X22(n2),X1,X2相互独立
5
6.2.4 F 分布 (F distribution with n and m degrees)
定义 设 X~2(n),Y~2(m),X , Y 相互独立，
令
F X /n
Y /m
则F 所服从的分布称为第一自由度为n ,第二自由度为
m 的F 分布,其密度函数为
f(t,n,m)ΓΓn2nΓ2mm 2m nn2tn211m ntn2m, t0
由于正态总体是最常见的总体, 故本节介绍的 几个抽样分布均对正态总体而言.
6.2.1 正态分布(Normal distribution)
若 X1,X2,,Xn i.~i.d. N(i,i2)
则
n aiXi ~Nn aii, n ai2i2
i1
i1
i1
特别地,
若 X1,X2,,Xn i.~i.d. Xi ~N(,2)
故 P (X 7) 0 1 P (X 7) 0 0 .2n
令
0 .2n 0 .9 查表得 0.2n1.29
即 n4.1 602所以5取 n42
例4 从正态总体 X~N(,2) 中，抽取了
n = 20 的样本 X1,X2,,X20
(1) 求 P 0 .37 2 2 1 i2 0 10 X i X 2 1 .76 2
定义 设 X1,X2,,Xn 相互独立,
且都服从标准正态分布N (0,1),则
n
Xi2 ~ 2(n)
i1
n = 1 时,其密度函数为
f (x)
1 x e , 12 2x
2
0,
1.2
1
0.8
x0 0.6
0.4
0.2
x0
2
4
6
8 10
n = 2 时,其密度函数为
f(x)
1e2 x, 2
0,
x0 x0
PT1.812 05 .95
t0.9(5 1)0 1.8125
P (T
t / 2 )
2
P T t / 2
/2
• -3 -t-2/2
0.35 0.3
0.25 0.2
0.15 0.1
0.05
-1
/2
• 1 t2/2 3
PT2.22810.025
PT2.22810.05 t0.02(510)2.2281
则服从自由度为n - 1的t 分布的随机变量为:
(A) X n1
S1
(C) X n
S3
(B) X n1
S2
(D) X n
S4
解
X
~
N (0,1)
1
2
n
(Xi X)2~
2(n1)
i1
n
X
n
n(n1)(X ) ~t(n1)
1
2
n
(X i
i1
X )2
n
(Xi X)2
i1
n 1
故应选(B)
T
X Y
n
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的t 分 布其密度函数为
f(t)Γ nΓ n21n1tn2n21
2
t
0.4
0.3
0.2
n=1
0.1
-3 -2 -1
n=20
1 23
t 分布的图形(红色的是标准正态分布)
t 分布的性质
1°f n(t)是偶函数,
n ,fn(t) (t)1 2et2 2
例8 在总体X～N(12,4)中抽取容量为5的样本X1,X2,…,X5,
求下列概率:
(1 )P (X | 1| 2 1 ); (2 )P (m X 1 , a,X x 5 ) ( 1)5 (;3 )P (m X 1 , i,X n 5 ) (1)0 .
解
(1)因为
X
~ N(12, 4), 所以X 12~ N（0， 1）
1
2
S12
12
S22
~
F (n
1,m 1)
(3)
2 2
若 1 2 则
S12 S22
~F(n1,m1)
设 X1,X2,,Xn是来自正态总体 X~N(1,2)
的一个简单随机样本
Y1,Y2,,Ym 是来自正态总体 Y~N(2,2)
的一个简单随机样本 , 它们相互独立.
则 X1 ni n 1X i~N (1 ,n 2) Ym 1jm 1Y j~N (2,m 2)
的一个简单随机样本