常用的统计量抽样分布一．正态分布1. ∑==ni i X n X 11EX →2. 212)(11∑=--=n i i X X n S ][11212∑=--=n i i X n X n DX →3. 定理：X ～),(2σμN ，n X X X ,,,21 为X 的样本，则 (1). X ～),(2nN σμ，(2).22)1(σS n -～)1(2-n χ,(3). X 与2S 相互独立。
二．2χ分布 1. 定义设n X X X ,,,21 独立同分布，且～)1,0(N ，则)(~2122n X ni i χχ∑==2. 性质：(1). 若X ～)(12n χ，Y ～)(22n χ，且X ,Y 独立，则X +Y ～)(212n n +χ。
(2). 若X ～)(2n χ，则n EX =，2DX n =。
三．t 分布 1. 定义设X ～)1,0(N ,Y ～)(2n χ，且X ,Y 独立，则nY X T =～)(n t 。
2. 定理：设n X X X ,,,21 独立同分布，且～),(2σμN ，则nS X μ-σσμSn X )(-=1)1()(22---=n Sn n X σσμ～)1(-n t（因为nX σμ-～)1,0(N ，22)1(σS n -～)1(2-n χ）。
3. 定理：设1,,,21n X X X 为总体X ～),(21σμN 的样本，1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(22σμN 的样本，且Y X ,独立，则212111)()(n n S Y X w+---μμ～)2(21-+n n t ，其中2)1()1(212222112-+-+-=n n S n S n S w。
证：因为2211)1(σS n -～)1(12-n χ,2222)1(σS n -～)1(22-n χ，所以2222211)1()1(σS n S n -+-～)2(212-+n n χ；又X ～),(121n N σμ，Y ～),(222n N σμ，所以X Y -～),(221221n n N σσμμ++，所以212111)()(n n Y X +---σμμ～)1,0(N ，所以 212111)()(n n S Y X w+---μμ212111)()(n n Y X +---=σμμ/)2/()1()1(212222211-+-+-n n S n S n σ～)2(21-+n n t 。
四．F 分布 1. 定义设U ～)(12n χ,V ～)(22n χ,且V U ,独立，则21n Vn UF =～),(21n n F 。
2. 定理：设F ～),(21n n F ，则F1～),(12n n F 3. 定理：设1,,,21n X X X 为总体X ～),(211σμN 的样本，1,,,21n Y Y Y 为总体Y ～),(222σμN 的样本，且Y X ,独立，则)1,1(~//2122222121--=n n F S S F σσ。
常用的统计量抽样分布示例例 1 设2521X X X ，，是来自总体()1~2χX 的一个样本，则∑=251i iX服从()252χ分布；例2设随机变量21,X X ,3X 相互独立，1X ～)1,0(N ,2X ～)21,0(N ,3X ～)31,0(N ，则23222132X X X ++服从)3(2χ分布。
例3 设总体X 服从)2,0(2N ，而1521,,,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,则随机变量)(22152112102221x X X X X Y ++++= 服从)5,10(F 分布。
例 4 设随机变量Y X ,相互独立且都服从)3,0(2N ，而921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 为分别来自总体X 和Y 的简单随机样本,则统计量2921921YY X X X U ++++=服从)9(t 分布。
例5 设n X X X ,,,21 )2(≥n 为来自总体)1,0(N 的简单随机样本,X 是样本均值，2S 是样本方差，则 D .(A). X n ～)1,0(N (B) 2nS ～)(2n χ(C). S Xn )1(-～)1(-n t (D) ∑=-ni iX X n 2221)1(～)1,1(-n F 解：∑=-ni iXX n 2221)1(∑=-=ni in XX 22211/1/～)1,1(-n F例6 设总体X 服从),(21σμN ，总体Y 服从),(22σμN ，1,,,21n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，2,,,21n Y Y Y 为来自总体Y 的简单随机样本，则=-+-+-∑∑==]2)()([21112212n n Y Y X XE n i n i i i2σ解：原式2121)([211∑=--+=n i i X X E n n ])(212∑=-+ni i Y Y1221212()1{[]2n ii XX E n n σσ=-=++-∑2212()[]}n ii Y Y E σ=-∑又221)(1σ∑=-n i iX X221)1(σSn -=～)1(12-n χ,故22122()[]1n ii XX E n σ=-=-∑，从而12111()11n ii XX En n =-=--∑,同理22122()11n ii Y Y En n =-=--∑,所以原式=2σ。
例7. 设n X X X ,,,21 )2(>n 为来自总体),0(2σN 的简单随机样本,X是样本均值，记X X Y i i -=，n i ,,2,1 = 。
求： (1). i Y 的方差i DY ，n i ,,2,1 = ； (2). ),(1n Y Y Cov ； (3) }0{1≤+n Y Y P 。
(4）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计，求c 的值。
解：（1）i DY )(X X D i -=（i X n )11(- 与∑≠=n ik k k X n ,11独立） ]1)11[(,1∑≠=--=n i k k k i X n X n D 222221)1(1)11(σσσn n n nn -=-+-=，n i ,,2,1 = 。
(2) 0)(11=-==X X E EY EY n ,),(1n Y Y Cov ))((11n n EY Y EY Y E --=))((1X X X X E n --= )(1n X X E =)(2X E +)()(1X X E X X E n --1X ,n X 独立，)(1n X X E ∴01=⋅=n EX EX )(X D )(2X E =2)(X E -)(2X E =而)(X D ][21n X X X D n ++=21n=)(1n DX DX ++ 21σn ==++=)}()()({1)(121211n X X E X X E X E n X X E 2211)(1σnX E n =，=++=})()()({1)(221n n n n X E X X E X X E n X X E 221)(1σnX E n n =所以),(1n Y Y Cov )(X D =21σn -21σn -=21σn-（3）=+n Y Y 1)()(1X X X X n -+-∑-=--+-=121222n i i n X n X n n X n n 上式是相互独立的正态随机变量的线性组合，所以n Y Y +1服从正态分布，由于,0)(1=+n Y Y E 所以5.0}0{1=≤+n Y Y P 。
（4）])([21n Y Y c E +)(1n Y Y cD +=)],(2[11n n Y Y Cov DY DY c ++=2]211[σn n n n n c --+-=2)2(2σc nn -=2σ=，故)2(2-=n n c 。