学案7 直线的标准参数方程及一般参数方程互化及应用
教学目标：
1．掌握直线参数方程的标准形式和一般形式，理解参数的几何意义； 2．熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；
3．利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关等问题； 教学重点：熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化 教学难点：理解参数的几何意义 教学过程
1、参数方程与普通方程的互化
例1：化直线1l 的普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数的几何意 义,说明∣t ∣的几何意义.
解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－3
1=－3
3
设倾斜角为α，tg α=－3
3,α= π65, cos α =－23, sin α=2
1
1l 的参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
-
=t y t x 2
1
2
3
1 （t 为参数）
∣t ∣是定点M 0（1，0）到动点M(y x ,)的有向线段M M 0的长.
点拨：（1）求直线的参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数的几何意义.
（2）你还能写出其他的参数方程吗？
例2：化直线2l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-= t
313y t
x （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，
说明∣t ∣的几何意义. 解：原方程组变形为⎩⎨
⎧=-=+ (2) t
31 (1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，
得)3(31+=-x y (点斜式) 可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3
π
普通方程为 01333=++-y x t 的几何意义是有向线段M M 0的数量的一半.
∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应的点M(y x ,)的有向线段M M 0的长的一半.
提问;你能直接写出直线斜率吗？ 例3: 将直线的参数方程⎩
⎨
⎧+=+= t 331y t
x （t 为参数）化为标准形式
变式：13x t y =-⎧⎪⎨=⎪⎩
及13x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩
及13x t
y =-⎧⎪⎨=+⎪⎩如何化为标准形式
例4：直线⎩⎨⎧-=+=
20
cos 420sin 3t y t x （t 为参数）的倾斜角 . 例5：已知直线l 过点P （2，0），斜率为3
4
和抛物线x y 22=相交于A 、B 两点， 设线段AB 的中点为M,求： (1)P 、M 两点间的距离|PM|； (2)M 点的坐标； (3)线段AB 的长|AB|
解：(1)∵直线l 过点P （2，0），斜率为3
=3
4
cos α =53, sin α=54∴直线l 的标准参数方程为⎪⎩
⎪⎨⎧=+=t
y t x 54
532（t 为参数）* ∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程x y 22=中，
整理得 8t 2－15t －50＝0 Δ=152+4×8×50>0,设这个二次方程的两个
根为t 1、t 2,由韦达定理得 t 1＋t 2＝
815
, t 1t 2＝4
25- ，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得| PM|＝2
21t t + ＝1615
∵中点M 所对应的参数为t M =16
15
,将此值代入直线的标准参数方程*，
M 点的坐标为⎪⎩
⎪⎨⎧=•==•+=43
16155416411615532y x 即 M （1641，43） 例6：已知直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π，
(1)求直线l 与直线l '：32-=x y 的交点Q 与P 点的距离| PQ|；
(2)求直线l 和圆22y x +＝16的两个交点A ，B 与P 点的距离之积. 解：(1)∵直线l 经过点P （1,－33）,倾斜角为3
π,∴直线l 的标准参数方
程为⎪⎩⎪⎨⎧
+-=+=3sin 333cos 1ππt y t x ，即⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨⎧+-=+=t
y t x 2333211（t 为参数）代入直线l '：
32-=x y 得032)2
3
33()211(=-+
--+t t 整理，解得t=4+23 t=4+23即为直线l 与直线l '的交点Q 所对应的参数值，根据参数t 的几
何意义可知：|t|=| PQ|,∴| PQ|=4+23.
x
(2) 把直线l 的标准参数方程为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+-=+=t y t x 2333211（t 为参数）代入圆的方程
22y x +＝16，得16)2
333()211(2
2=+
-++t t ,整理得：t 2－8t+12=0， Δ=82-4×12>0,设此二次方程的两个根为t 1、t 2 则t 1t 2=12
根据参数t 的几何意义，t 1、t 2 分别为直线和圆22y x +＝16的两个交点 A, B 所对应的参数值，则|t 1|=| PA|,|t 2|=| PB|,
所以| PA|·| PB|=|t 1 t 2|=12
点拨：利用直线标准参数方程中的参数t 的几何意义解决距离问题、距离的乘积（或商）的问题，比使用直线的普通方程，与另一曲线方程联立先求得交点坐标再利用两点间的距离公式简便. 课下作业
1、 求过点(6,7),倾斜角的余弦值是2
3的直线l 的标准参数方程.
2、 直线l 的方程：⎩⎨⎧+=-=
25
cos 225sin 1t y t x （t 为参数），那么直线l 的倾斜角( ) A 65° B 25° C 155° D 115°
3、 直线⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-=-=t
y t
x 5
2
15
11（t 为参数）的斜率是( )
4、直线l 的方程： ⎩
⎨
⎧+=+=bt y y at
x x 00 （t 为参数）A 、B 是直线l 上的两个点，分别对应参数
值t 1、t 2，那么|AB|等于( )
A ∣t 1－t 2∣
B 22b a +∣t 1－t 2∣
C 2
2
21b
a t t +- D ∣t 1∣+∣t 2∣
5、已知直线l ：⎩⎨
⎧+-=+= t
351y t
x (t 为参数)与直线m ：032=--y x 交于P 点，求点
M(1,－5)到点P 的距离. 6、直线⎩⎨
⎧+-=+=t
21y t x (t 为参数)与椭圆822
2=+y x 交于A 、B 两点，则|AB|等于( )
A 22 B
334 C 2 D 3
6
7、过点P(6, 27)的直线⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=t 2726y t x (t 为参数)与抛物线y 2=2x 相交于A 、B 两点， 则点P 到A,B 距离之积为 . 8、直线⎩
⎨
⎧+=+=αα
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）与二次曲线A 、B 两点，则|AB|等于( )
A |t 1+t 2|
B |t 1|＋|t 2|
C |t 1－t 2| D
2
2
1t t +
9、 直线⎪⎩
⎪⎨⎧
+-=-=t
21
1212y t x (t 为参数)与圆122=+y x 有两个交点A 、B ，若P 点的坐
标为(2,-1),则|PA|·|PB|=
. .。