有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算【本讲教育信息】一. 教学内容：有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算二. 知识要点：1、有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号先算括号里面的．2、有理数运算规律：（1）在有理数运算中，加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方是三级运算．一个式子里三级运算都含有时，先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算；同一级运算，按照从左到右的先后顺序进行运算；（2）有括号时按照小括号、中括号、大括号的顺序进行；（3）运算中应灵活运用运算律简化运算．三. 重点、难点、考点：1、重点：有理数的混合运算。

2、难点：有理数的混合运算顺序及符号的规律。

3、考点：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算。

考点分析：有理数的加、减、乘、除、乘方的混合运算是历年中考必考的内容，本部分内容有时单独命题，有时与后面的其他知识综合命题，命题形式以解答题为主，有时也出填空题和选择题．【典例精析】例⒈计算：⑴×（1／3－1／2）×÷5／4⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）解：⑴×（1／3－1／2）×÷5／4＝×（－1／6）××4／5 先算括号里面的＝－2／25 再算乘除⑵－10＋8÷（－2）2―（―4）×（－3）＝－10＋8÷4―（―4）×（－3）先算乘方＝－10＋2－12 再算乘除＝－20 最后算加减指导：解此题的关键是要严格按照混合运算的顺序进行运算．例2.计算：⑴－1 4―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1/8—0.52︱⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5⑶－3 2 ×1.22 ÷0.32 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷（－1 ）2003解：⑴－14―（0.5－2／3）÷1／3×［－2―（―3）3 ］－︱1／8－0.5 2 ︱＝－1―（―1／6）×3×（－2＋27）－︱1／8－1／4 ︱先算乘方＝－1―（―1／6）×3×25－1／8 再算括号里的＝－1＋25／2－1／8 最后算加减＝11.375⑵［35／3－（3／8＋1／16－3／4）×（－4）3 ］÷5＝［35／3－3／8×（－64）－1／16×（－64）＋3／4×（－64）］÷5＝［35／3＋24＋4－48 ］×1／5＝［35／3－20］×1／5＝35／3×1／5－20×1／5＝7／3－4＝－5／3⑶－3 2 ×1.2 2 ÷0.3 2 ＋（－1／3）2×（－3）3 ÷（－1）2003＝－9×36／25×100／9＋1／9×（－27）÷（－1）＝－144＋3＝－141指导：有理数混合运算中应注意以下问题：⑴要注意运算顺序；⑵要灵活运用运算律进行简便计算，不要搞错符号，特别是乘方符号；⑶要灵活进行分数、小数的互化⑷互为相反数的和，互为倒数的积，有因数为0等特殊运算先行结合．本例中⑴小题按“＋”“－”号分为三段，再分别计算每一段；⑵小题可灵活运用乘法的分配律；⑶小题中把小数化成分数后计算较为简便．例3.（2006，浙江）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么这个正整数为神秘数．如：4＝2 2－02 12＝42－22 20＝62 －42 因此4，12，20都是神秘数．（1）28和2012 这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？解：（1）因为28＝4×7＝82－62 ，2012＝4×503＝5042－5022，所以是神秘数。

⑵（2k＋2）2 －（2k）2 ＝4（2k＋1），因此由2k＋2和2k构造的神秘数是4的倍数．⑶由（2）可知神秘数可表示为4的倍数但一定不是8的倍数，设两个连续奇数为2k＋1和2k－1（其中k取正整数）则（2k＋1）2－（2k－1）2＝8k，即两个连续奇数的平方差不是神秘数。

指导：此题是探索题，正确理解题意，仔细观察所给的式子，可以看出解题的规律，从而找到解题的途径。

例4. 在一片草地中间，有一间正方形的小房子，它的边长6m，房子外边南墙的正中有一只羊，拴羊的绳长12m，远处的一根木桩拴着一头牛，绳长11m。

问牛和羊谁能吃到草的面积更大些？大多少？（π取3）解：羊吃到草的面积为1／2×3×（122＋92＋32）＝351m2牛吃到草的面积为3×112＝363m2所以，牛吃到草的面积更大些，大12m2指导：由题意可知羊能吃到草的部分是3个半圆，而牛能吃到草的部分是一个圆。

例5. （2007，绵阳）我们常用的数是十进制的数，而计算机程序处理中使用的是只有数码0和1的二进制数，这两者可以互相换算，如将二进制数1101换算成十进制数应为1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝13，按此方式，则将十进制数25换算成二进制数应为───────────────。

解：1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，即25换算成二进制数为11001．指导：理解二进制与十进制之间的换算规律是关键。

从题目中可知1101为13，所以25必定为4位以上，所以我们可以写为1×24＋1×23＋0×22＋0×21＋1×20＝25，写为11001。

【思想方法总结】有理数的混合运算，关键是牢记混合运算的法则及运算顺序，要能灵活应用运算律进行简化运算，并能解决有关的实际问题．灵活应用运算律进行运算式子变形是数学中重要的“转化思想”，学习时应注意这一思想的培养。

【模拟试题】﹙时间：60分钟，满分100分﹚一、选择题：﹙每小题3分，共27分﹚1. （－16）÷（―2）3―22×（－1／2）的值是（）A. 0B.－4C. －3D. 42. 下列各组数中，数值相等的是（）A. 32和23B. （－3＋2）2和（－3）2＋22C. （－3）2和23D. （－3）2×22和［（－3）×2］23. 计算－22－（－2）3×（－1）2－（－1）3的结果为（）A.－30B.－1C. 24D. 54. 计算（－2）2003 ＋（－2）2002的值是（）A. 1B. －2C. －22002D. 22002﹡5. （2007·天门）中百超市推出如下优惠方案∶⑴一次性购物不超过100元，不享受优惠；⑵一次性购物超过100元，但不超过300元一律9折；⑶一次性购物超过300元一律8折。

某人两次购物分别付款80元、252元，如果他将这两次所购商品一次性购买，则应付款（）A. 288元B. 332元C. 288元或316元D. 332元或363元﹡6. （2007·广东深圳）若（a－2）2＋︱b＋3︱＝0，则（a＋b）2007的值是（）A. 0B. 1C.－1D. 20077. 下列各式计算正确的是（）A. －22－（－2）2＝0B. －2÷3×1／2＝－2C. －3×（－7－5）＝6D. （3－6）×1／2＝－3／28. 如果（m＋2）2＋（n－3）2＝0，那么代数式2／3（m－n）的值为（）A. 2／3B. 2／15C.－2／15D.－2／3﹡9. 若x是有理数，则x2＋1一定是（）A. 等于1B. 大于1C. 不小于1D. 非负数二、填空题：﹙每小题3分，共27分﹚10. （－1）2000＋（－1）2007＋（－1）2006＋02003＝_________________﹡11. 有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的∶任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数只用一次）进行加减乘除四则运算，例如对1，2，3，4可作运算：（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）。

现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，使其结果等于24，运算式如下：⑴____________ ⑵____________ ⑶____________12. （2006厦门）计算∶25÷23＝________________________。

13. 观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…通过观察用你能发现的规律写出219的末位数字是____________14.－32÷（－3）2＋3×（－2）＝____________15. （1－2）（3－4）（5－6）…（99－100）＝____________16. 若x＝2时，代数式ax3－2的值为3，当x＝－2时，ax3－2的值是____________17. 如图是2007年6月份的日历，像图中那样，用一个圈竖着圈住三个数，如果被圈住的三个数的和为42，那么这三个数中最大的一个数为_________________。

﹡﹡18. （2007，湖南常德）观察下列各式：13＝12 13＋23＝3213＋23＋33＝6213＋23＋33＋43＝102……猜想：13＋23＋33＋…＋103＝___________________三. 解答题：﹙共46分﹚19. 计算：﹙每小题4分，共20分﹚⑴－22―（－3）2×（－1）2－（－1）3⑵—32－︱（－5）3︱×（－2／5）2－18÷︱－（－3）2︱⑶1／5×（－5）÷（－1／5）×5⑷0.5－（2／3－1.25）×0.6÷（－1.75）⑸（－278）÷78.7×（－3／4）×020. ﹙6分﹚已知a，b互为相反数，且a≠0，c，d互为倒数，e的绝对值等于6求2a＋2b－6cd＋b／a＋e的值21. 计算﹙5分﹚24＋6÷1／3×322. ﹙6分﹚若有理数a，b满足（a＋1）2＋（b－1）2＝0，求式子3a2－2b3／ab的值。