必修一函数的单调性和最值
一、选择题
1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )
A ．递减函数
B ．递增函数
C ．先减后增
D ．先增后减
答案 C
解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．
2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0”的是( )
A ．f (x )＝1x
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
答案 A
解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )
A ．a <－3
B ．a ≤－3
C ．a >－3
D ．a ≥－3
答案 B
解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.
4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )
A ．y ＝cos x
B ．y ＝－|x －1|
C ．y ＝ln 2－x 2＋x
D ．y ＝e x ＋e －x 答案 D
5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是
( )
A ．(－∞，－3)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，－1)
D ．(－1，＋∞)
答案 A
解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)
∴y ＝log a 5>0，∴a >1
由复合函数单调性知
单减区间须满足⎩⎨⎧
x 2＋2x －3>0x <－1
，解之得x <－3. 6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )
A ．f (－5)>f (3)
B ．f (－5)<f (3)
C ．f (－3)>f (－5)
D ．f (－3)<f (－5)
解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2
>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.
7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )
A ．(3,8)
B ．(－7，－2)
C ．(－2，－3)
D ．(0,5)
答案 B
解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2.
8．(09·天津)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.
若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B ．(－1,2)
C ．(－2,1)
D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．
又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，
∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.
9．(2010·北京卷)给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12
(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
答案 B
解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中
的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上
为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.
二、填空题
10．给出下列命题
①y ＝1x 在定义域内为减函数；
②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；
③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；
④y ＝kx 不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．
11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．
答案 [1，＋∞)
解析 函数图象如图
12．函数f (x )＝－x 2
＋|x |的递减区间是________．
答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合
13．在给出的下列4个条件中，
①⎩⎨⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎨⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎨⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎨⎧
a >1x ∈(0，＋∞)
能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．
(把你认为正确的条件编号都填上)．
答案 ①④
解析 利用复合函数的性质，①④正确．
14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．
答案 (0，110)
解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．
不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.
(2010·深圳)若函数h (x )＝2x －k x ＋k 3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值
范围是________．
答案 [－2，＋∞)
解析 由h ′(x )＝2＋k x 2≥0，得k ≥－2x 2，由于－2x 2在[1，＋∞)内的最大
值为－2，于是，实数k 的取值范围是[－2，＋∞)．
三、解答题
15．(2011·惠州调研)已知f (x )＝x x －a
(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．
答案(1)略(2)0<a≤1
解析(1)证明任设x1<x2<－2，
则f(x1)－f(x2)＝
x1
x1＋2
－
x2
x2＋2
＝
2(x1－x2)
(x1＋2)(x2＋2)
.
∵(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解任设1<x1<x2，则
f(x1)－f(x2)＝
x1
x1－a
－
x2
x2－a
＝
a(x2－x1)
(x1－a)(x2－a)
.
∵a>0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.
综上所述知0<a≤1.
16．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
答案(1)略(2){m|－1<m<4 3}
解(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1. f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．
即f(x)是R上的增函数．
(2)∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)<f(2)，
∵f(x)是R上的增函数，
∴3m2－m－2<2，解得－1<m<4 3，
故m的解集为{m|－1<m<4 3}．。