山东省冠县武训高级中学高考数学复习题库：5.4 平面向量的应用一、选择题1. 如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB AF AE BF的值是( )．答案 A2．△ABC 的三个内角成等差数列，且(AB →＋AC →)·BC →＝0，则△ABC 一定是( )．A ．等腰直角三角形B ．非等腰直角三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析 △ABC 中BC 边的中线又是BC 边的高，故△ABC 为等腰三角形，又A ，B ，C 成等差数列，故B ＝π3.答案 C3. 半圆的直径AB ＝4，O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则(PA →＋PB →)·PC →的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．2D ．无法确定，与C 点位置有关解析 (PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →＝－2.答案 A4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足PA →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )． A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析 PA →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )，∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(3－x ，－y ) ＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2. 即y 2＝x ＋6. 答案 D5．如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·yx ＋y的值为( )．A ．3B.13C ．2D.12解析 (特例法)利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13. 答案 B【点评】 本题采用特殊点法，因为过点G 的直线有无数条，其中包含平行于底边BC 的直线，所以\f(xy,x ＋y )的值不随M 、N 的位置变化而变化.6．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在的平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的 ( )． A ．重心、外心、垂心 B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心解析 因为|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，所以点O 到三角形的三个顶点的距离相等，所以O 为三角形ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，得NA →＋NB →＝－NC →＝CN →，由中线的性质可知点N 在三角形AB 边的中线上，同理可得点N 在其他边的中线上，所以点N 为三角形ABC 的重心；由PA →·PB→＝PB →·PC →＝PC →·PA →得，PA →·PB →－PB →·PC →＝PB →·CA →＝0，则点P 在AC 边的垂线上，同理可得点P 在其他边的垂线上，所以点P 为三角形ABC 的垂心．答案 C7.已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB |＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，则AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB的值等于( )A ．100B ．96C ．－100D ．－96解析：∵|AB|＝6，|BC |＝8，|CA |＝10，62＋82＝102. ∴△ABC 为Rt △.即AB ·BC＝0.AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB＝CA (BC ＋AB)＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－100.答案：C 二、填空题8.如图,在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP 且AP AC= .答案 189. △ABO 三顶点坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，满足AP →·OA→≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析 ∵AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，∴x ≤1，∴－x ≥－1， ∵BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，∴y ≥2. ∴OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝2y －x ≥3.答案 310．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________． 解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a ·b ＝4|a ||b |cos π3＝4＞0，∴|a ＋b |＞|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 答案311．在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB ＋AC )·AD的值为________．解析：|BC |2＝|AB |2＋|AC |2＝8，|AD |＝12|BC|，AB ＋AC ＝2AD ，(AB ＋AC )·AD ＝2AD ·AD ＝12|BC|2＝4.答案：412．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.解析 (构造法)∵等边三角形的边长为23， ∴如图建立直角坐标系， ∴CB →＝(3，－3)，CA →＝(－3，－3)，∴CM →＝16CB →＋23CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52.∴OM →＝OC →＋CM →＝(0,3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－52＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12. ∴MA →·MB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－12＝－2. 答案 －2【点评】 本题构造直角坐标系，通过坐标运算容易理解和运算． 三、解答题13．已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点(1) AC ·BC ＝－13，求sin 2θ的值．(2)若|OA ＋OC |＝7，且θ∈(－π，0)，求OB 与OC的夹角．解析：(1) AC＝(cos θ，sin θ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)．AC ·BC＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(sin θ－2)＝cos 2θ－2cos θ＋sin 2θ－2sin θ ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－13.∴sin θ＋cos θ＝23，∴1＋2sin θcos θ＝49，∴sin 2θ＝49－1＝－59.(2)∵OA ＝(2,0)，OC＝(cos θ，sin θ)， ∴OA ＋OC＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|OA ＋OC |＝2＋cos θ2＋sin 2θ＝7.即4＋4cos θ＋cos 2θ＋sin 2θ＝7. ∴4cos θ＝2，即cos θ＝12.∵－π<θ<0，∴θ＝－π3.又∵OB ＝(0,2)，OC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴cos 〈OB ，OC 〉＝|OB ·OC||OB |·|OC |＝0－32＝－32.∴〈OB ，OC 〉＝5π6.14．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )．(1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．解析 (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ，又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ， ∴sin B cos A ＝sin A cos B ，即sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵－π＜A －B ＜π，∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.15．已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1,0)． (1)若x ＝π6，求向量a 与c 的夹角；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值，并求此时x 的值．解析 (1)设a 与c 夹角为θ，当x ＝π6时，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，cos θ＝a ·c|a ||c |＝32×－1＋12×0⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×－12＋02＝－32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. (2)f (x )＝2a ·b ＋1＝2(－cos 2x ＋sin x cos x )＋1＝2sin x cos x －(2cos 2x －1)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，9π8，∴2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，2π，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，∴当2x －π4＝3π4， 即x ＝π2时，f (x )max ＝1.16．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x4.(1)若m ·n ＝1，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值；(2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围． 解析 (1)m ·n ＝3sin x 4·cos x4＋cos 2x4＝32sin x 2＋1＋cos x22＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12， ∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ≠0. ∴cos B ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3，∴0＜A ＜2π3.∴π6＜A 2＋π6＜π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。