第二章 随机变量及其分布
§2.1 随机变量
随机变量的概念
例 电话总机某段时间内接到的电话次数， 可用一个变量 X 来描述：
X = 0，1，2， …
例 检测一件产品可能出现的两个结果 ， 也可以用一个变量来描述:
X(
)
1 , 0 ,
次品 正品
例 考虑“测试灯泡寿命”这一试验，以 X 记灯泡的寿命（以小时计）则：
P( X k ) Cnk pk ( 1 p )nk k =P(0Xk,1=k)0=,即1p,k20(-1,1-L分p)1布,-kn
❖ 概率特性 X 以一定的概率取某个 值或某些 值 。
引入随机变量的意义 有了随机变量，随机试验中的各种事件， 就可以通过随机变量的关系式表达出来。
如：单位时间内某电话交换台收到的呼 叫次数用 X 表示，它是一个随机变量。
{ 收到不少于1次呼叫 } { X 1 }
{ 没有收到呼叫} { X = 0 }
依题意， X 可取值 0，1，2，3。
P { X=0 } =P ( A1 ) = p =1 / 2 ，
路口3
路口2
路口1
P{
X
1}

P(
A1 A2
)
(1
p)p
1 4
路口3
路口2
路口1
P{
X
2}
P(
A1 A2 A3
)
(1
p )2
p
1 8
路口3
路口2
路口1
P{ X 3 }
P( A1 A2 A3 )
( 1 p )3 1 8
路口1 路口2
路口3
概率分布：
X0 1 2 3 p 1/2 1/4 1/8 1/8
二项分布
贝努里概型和二项分布 例 设生男孩的概率为p，生女孩的概率 为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴 儿中“男孩”的个数。
我们来求X的概率分布。
X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个 数，生男孩的概率为 p.
X = t， ( t≥0 )
定义
设 S 是随机试验E的样本空间， 若
S 按一定法则 实数 X( )
则称 S 上的单值实值函数 X ( )
为随机变量
随机变量一般用大写英文字母X， Y ，Z ，
随机变量 是 S R 上的映射， 此映射具有如下特点:
❖ 定义域 事件域 S ；
❖ 随机性 随机变量 X 的可能取值不 止一个， 试验前只能预知它的可能的取 值但不能预知取哪个值；
记: P( A ) p, P( A ) 1 p q ( 0 p 1 )
将 E 独立地重复 n 次，则称这一串重 复的独立试验为 n 重贝努利( Bernoulli )试 验，简称为贝努利( Bernoulli )试验
在n重贝努利试验中，事件A可能发生 0, 1,2, … n 次
当n=1时，
注 求分布律，首先弄清 X 的确切 含义及其所有可能取值。
几何分布
例3 上海的“天天彩”中奖率为p ，某人每
天买 1 张， 若不中奖第二天继续买 1张，
直至中奖为止。求该人购买次数 X 的分布
律。解：X= k 表示购买了 k 张， 前 k-1张都
未中奖， 第 k 张中了奖。
P( X k ) p( 1 p )k1 k 1, 2 ,
概率分布图 :
y
• 0.92
0.08
•
0
1
x
两点分布 ( 0–1分布)
只取两个值的概率分布
分布律为：
X0
1
pk 1-p p
0<p<1
或 P( X k ) pk ( 1 p )1k , k 0 ,1
应用场合
凡试验只有两个可能结果，常用0 – 1分 布描述，如产品是否合格， 人口性别统计， 系统是否正常， 电力消耗是否超标等。
×× ×
…
×√
123
…
k-1 k
适用于试验首次成功的场合
例4 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设 有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与 其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信 号灯显示的时间相等. 以 X 表示该汽车首次遇 到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分 布。
解:设Ai = { 第 i 个路口遇红灯 } ， i=1，2，3
或 X p
x1 x2 … xk … p1 p2 … pk …
• 概率分布的性质
1) pk 0, k 1,2,…
非负性
2)
pk 1
k1
正则性
概率分布的特征
例1 一批产品的次品率为8% ，从中抽取1件
进行检验，令X
1 0
, ,
次品 正品
写出 X 的分布律.
解：
X
X 的分布律为:
p
0
1
0.92 0.08
解： X 的可能取值为：
4000，400，40，4，0 。
Ｘ 0 4 40 400 4000
p .7933 .2 .006 .0006 .0001
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限 个或可列个， 则称 X 为离散型随机变量。
描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列
即 P( X xk ) pk , k 1,2,…
随机变量的取值随试验的结果而确定， 在试验之前，不能预知它取什么值，而试验 的各个结果出现有一定的概率，因而随机变 量的取值有一定的概率，这一点区别于一般 的函数。
以下就离散型随机变量、 连续型随机变
量两类随机变量逐一研究这两个问题。
1、随机变量取那些值或取值的范围？？？
2、随机变量取这些值或落在某一范围的概 率？？？
X=0 X =1 X =2 X =3 X =4
p0 ( 1 p )4
p4 ( 1 p )44
p1( 1 p )41
p3 ( 1 p )43
p2 ( 1 p )42
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
P( X k ) C4k pk ( 1 p )4k k 0,1,2, 3,4
设试验 E 只有两个结果：Ａ和 A，
§2.2 离散型随机变量及其分布律
例 有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等 奖20名，奖金4000元；一等奖120名，奖 金400元；二等奖1200名，奖金40元；末 等奖4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。
例有奖储蓄，20万户为一开奖组，设特等奖 20名，奖金4000元；一等奖120名，奖金 400元；二等奖1200名，奖金40元；末等奖 4万名，奖金4元。考察得奖金额 X 。
例2 10件产品中，有3件次品，任取两 件，X是“抽得的次品数”，求分布律。
解： X 可能取值为 0，1，2。
P{ X 0 }
C72 C120
7 6 10 9
7 15
P{ X 1 }
C31C71 C120
21 7 45 15
1 P{ X 2 }
15
所以，X的分布律为：
X
0
1
2
p 7/15 7/15 1/15