G
25
概率论与数理统计
(4) 在 f (x, y) 的连续点处
∂2F = f (x, y) ∂x∂y
从而有 P(x < X ≤ x + ∆x, y < Y ≤ y + ∆y)
≈ f (x, y)∆x∆y
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概率论与数理统计
说明 几何上 , z = f ( x , y ) 表示空间的一个曲面 .
∫−∞ ∫−∞ f ( x, y)d xd y = 1,
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X
y1 y2 M yj M
Y
x1 p 11
p 12 M
x2 p 21
p 22 M
L L
L
xi pi1
pi2 M
L L
L
p1 j
p2 j
L
p ij
L
M
M
M
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概率论与数理统计
二维离散 r.v.的联合分布函数 的联合分布函数
F(x, y) = ∑∑ pij ,
−∞
y
x
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概率论与数理统计
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) ≤ F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) ≤ F (x2, y) ③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 ) F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
j取不大于 的正整数 . 且由乘法公式得 取不大于i
1 1 P { X = i ,Y = j } = P{Y = j X = i }P{ X = i }= ⋅ , i 4 i = 1,2,3,4, j ≤ i .
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
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概率论与数理统计
Y
X
1
2
3
1 12
4
1 2
3
1 4
i, j =1, 2,L
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概率论与数理统计
pij = P( X = xi , Y = y j ) 的求法
(1) 利用古典概型直接求； (2) 利用乘法公式
pij = P(X = xi )P(Y = yj X = xi ) .
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概率论与数理统计
例2 设随机变量 X 在1, 2, 3, 4四个整数中等可 四个整数中等可 能地取值， 能地取值，另一个随机变量 Y 在1~X 中等可能 地取一整数值. 试求( 的分布律. 地取一整数值 试求 X, Y )的分布律 的分布律 解 { X = i ,Y = j } 的取值情况是 : i = 1,2,3,4,
a
(+∞,c) x
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概率论与数理统计
3.1.3 二维离散型随机变量的联合分布律 定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值 所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个, 为有限多个或无穷可列多个 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
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概率论与数理统计
联合分布律 设( X ,Y )的所有可能的取值为 的所有可能的取值为 则称
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概率论与数理统计
联合密度函数的性质
(1) f ( x, y ) ≥ 0.
(2) ∫
+∞ +∞ −∞ −∞
∫
f ( x, y ) d x d y = F (∞, ∞) = 1.
(3) 设 G 是 xoy 平面上的一个区域 , 点 ( X , Y ) 落在 G 内的概率为
P{( X , Y ) ∈ G} = ∫∫ f ( x, y ) d x d y.
概率论与数理统计
(2)
P( X +Y ≥1)
1 y
yy 11 0.5 00 xx yy=x =x
= ∫0.5 dy∫1−y 8xydx
= 5/ 6.
y 1 0
y=x
P( X < 0.5)
= ∫0 dx∫x 8xydy
0.5 1
F ( x , y ) = p11 = 0;
o
1
2
x
( 3)当1 ≤ x < 2, y ≥ 2时, F ( x , y ) = p11 + p12 = 1 3 ;
21
概率论与数理统计
y
2 (1,2 ) 1
(1,1)
( 2,2)
( 2,1)
o
1
2
x
(4)当x ≥ 2,1 ≤ y < 2时, F ( x , y ) = p11 + p21 = 1 3 ;
概率论与数理统计
解 令 D = {(x, y) 0 ≤ x ≤ y, 0 ≤ y ≤1 } (1)
∫−∞ ∫−∞ f (x, y)dxdy =1
+∞ +∞
∫∫ f (x, y)dxdy =1
D
y D 1 0 x
29
∫0 dy∫0 kxydx
y k = k∫0 y dy = 2 8
1 2
1
y
y=x
k =8
Y X
1
0 13
2
13 13
1 2
下面求分布函数. 下面求分布函数
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概率论与数理统计
(1)当 x < 1 或 y < 1 时,
= 0;
( 2 )当1 ≤ x < 2,1 ≤ y < 2时 ,
y
( 2,2)
F ( x, y )= P{ X ≤ x,Y ≤ y} 2 (1,2)
1
(1,1)
( 2,1)
y
X ≤ x,Y ≤ y
(x, y) x
(−∞, +∞)
5
概率论与数理统计
联合分布函数的性质
① 0 ≤ F(x, y) ≤1
y
(+∞,+∞)
F(+∞, +∞) =1
y
x
(x, y)
F(−∞, −∞) = 0
(−∞,−∞)
x
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概率论与数理统计
y
F(x , −∞) = 0
x
F(−∞, y) = 0
−∞
2
概率论与数理统计
实例1 炮弹的弹着点 实例 的位置 ( X, Y ) 就是一 个二维随机变量. 个二维随机变量 实例2 考查某一地 区 实例 学龄前儿童的发育情况 , 则儿童的身高 H 和体重 W 就构成二维随机变量 ( H, W ).
3
概率论与数理统计
3.1.2 二维随机变量的联合分布函数 定义 设( X , Y ) 为二维 r.v.，对任何一 ， 对实数( 对实数 x , y ), 事件 ( X ≤ x) I(Y ≤ y) (记为 ( X ≤ x,Y ≤ y)) 记为 的概率 P( X ≤ x , Y ≤ y)定义了一个二元 实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) ， 分布函数，或称为r.v.X和Y的联合分 的分布函数，或称为 和 的 布函数，即 布函数，
xi ≤x y j ≤ y
−∞< x , y <+∞.
已知联合分布律可以求出其联合分布函数 反之, 由分布函数也可求出其联合分布律 反之
P( X = xi ,Y = y j ) = F(xi , y j ) − F(xi , y j − 0)
− F(xi − 0, y j ) + F(xi − 0, y j − 0)
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概率论与数理统计
3.1.4 二维连续型随机变量的联合密度
的分布函数为F(x ,y ),若 定义 设二维 r.v.( X ,Y )的分布函数为 的分布函数为 若 存在非负可积函数 f (x,y) , 使得对于任意实数 x,y有
F(x, y) = ∫
x
−∞ −∞
∫
y
f (u, v)dvdu
则称( 则称 X ,Y ) 为二维连续型 r.v.，f (x,y) 为( X ,Y ) ， 联合概率密度函数，简称概率密度函数 概率密度函数， 的联合概率密度函数，简称概率密度函数，简 记为 p.d.f.
•(2,2)
(0,0) •
(2,0) • x
的分布函数. 故F(x, y)不能作为某二维 r.v.的分布函数 不能作为某二维 的分布函数
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概率论与数理统计
注意 对于二维 r.v.
P( X > a,Y > c) ≠1− F(a, c)
(a,+∞) (+∞,+∞) y
P( X > a,Y > c)
= P(a < X < +∞,c < Y < +∞) =1− F(+∞, c) c (a,c) − F(a,+∞) + F(a, c)
0 0 0
1 8 1 8
0 0
1 12
1 12
0
4
1 16 1 16 1 16 1 16
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概率论与数理统计
一个袋中有三个球,依次标有数字 例3 一个袋中有三个球 依次标有数字 1, 2, 2, 从中任取一个, 再任取一个, 从中任取一个 不放回袋中 , 再任取一个 设每 次取球时,各球被取到的可能性相等 各球被取到的可能性相等,以 次取球时 各球被取到的可能性相等 以 X, Y 分 别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 , 的分布律与分布函数. 求 ( X, Y ) 的分布律与分布函数 解 ( X, Y ) 的可能取值为 (1,2), ( 2,1), ( 2,2).
F(x, y) = P( X ≤ x,Y ≤ y)
4
概率论与数理统计
分布函数的几何意义 表示二维r.v. 如果用平面上的点 (x, y) 表示二维 (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 的一组可能的取值， 的一组可能的取值 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率 的取值落入图所示角形区域的概率.