复变函数第三版习题
第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。

3. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。

4. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。

5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。

?,??r?rr?????r2z
8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一
定有任意阶导数。

证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。

10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。

?sinhz?coshz, 12. 设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数。

这一个函数可以写成z?x?iy及z的
函数：u?u(证明：z?zz?z。

,)22i ?u1?u?u?u1?u?u ?(?i),?(?i),?z2?x?y?z2?x?y设复变函数f(z)的实部及虚部分别是u(x,y)及v(x,y)，并且它们都有偏导数，求证，对于f(z)，柯西-黎曼条件可以写成?f?z?u?z?v?z。

?0??i 13. 设函数1在z?0解析，那么我们说ff()z(z)在z??解析。

下列函数中，哪些在无穷远点解析？e,Ln(zz?1z?11?),z，zmna0?a1z?...?amzb0?b1z?...?bnz 。

14. 在复平面上取上半虚轴作割线。

试在所得的区域内分别取定函数z和Lnz 在正实轴取正实值的一个解析分支，并求它们在上半虚轴左沿的点及右沿的点z?i处的值。

15. 在复平面上取正实轴作割线。

试在所得的区域内：取定函数z?(?1???0)在正实轴上沿取正实值的一个解析分支，并求这个分支在z??1处的值；在正实轴下沿的值。

取定函数Lnz在正实轴上沿取实值的一
个解析分支，并求这个分支在z??1处的值；在正实轴下沿的值。

16. 求(1?z2)(1?k2z2)(0?k?1)函数的支点，证明它在线段1k1k，??x??1,1?x?的外部，能求在z 17. 研究函数?0取正值的那个分支。

(z?1)(z?1)(z?2) zw?3如果规定z?3时，w?0。

任作两种适当的割线，求这函数的一个解析分支在z?i 的值。

18. 找出下列推理的错误：因为(?z)2?z2，所以2Ln(?z)?2Lnz，因此Ln(?z)?Lnz。