∴x－＋234y4＝2 6，11x27 －2 y＝－4 ，xy＝1.
原式＝
＝
• 三：注意二次根式运算中隐含条件
1
a2－1
a2－2a＋1
•
例3 值．
已知：2＋a＝a3＋1aa＋－，11求
a2－－a
a－12
a＋1
aa－1
的
a－1
1
aa－1
• 学生作答 解：原1 式＝
a
－
2＋ 3
•
＝a－1－1 ＝a－3 1－ . 3
求 3a + 5b – c 的值。
解： Q 2a2 3ab b2 0 （a-b)(2a b) 0
当a b=0时， 即a=b, 原式= a a =0. a a
当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
二次根式运算 （提高篇）
三更灯火五更鸡，正是男儿读书时； 黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。
一：二次根式混合运算
例1：计算：(每小题4分)
(1)(3 2－1)(1＋3 2)－(2 2－1)2
(2)( 10－3)2010·( 10＋3)2010
〉〉解题示范——规范步骤，该得的分一分不丢！
(1)解：原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1]
2＋ 3
• 规范解答
1
2＋ 3
• 解：a∵2－a2＝a＋1 <1a－，1∴2 a－1<0.
a＋1a－1 1－a
1
•
∴
1 ＝a＋1 ＝aa|－a－1 1|＝1－a a.
2＋ 3
• ∴原式1＝
2＋ 3
－3 ＝a－1
＋.
• 老师忠告
1
• (1)题目中的隐含条2＋件为3 a＝
a－12
＝
a<2－12，a＋所1 以
＝18－1－8＋4 2－1
[2分]
＝8＋4 2 (2)解：原式＝[( 10－3)( 10＋3)]2010
＝[( 10)2－32]2010
[4分] [4分]
＝(10－9)2010＝1
知能迁移:
(1) 62－ 18－120； (2)(－3)2－ 4＋12－1.
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
二：二次根式运算中的技巧
例4、（1）当x= 1 , y 1时，求代数式
解：原式= (
2
2 1)
(
2
2 1)
= 2 1
2 1
= 2 1 ( 2 1)
= 2 1 2 1
=-2
1 已知a，b分别是 36 3的整数部分和小数部分，
那么a – 2b 的值是 ；
2 已知 x2 + 3x-1=0，求 x2 1x2 2 的值。
练习：
已知x
=
3
1 +2
，求 x2 - 6x +2 的值.
a2－2a＋1 a－12
•
＝|a－1|＝1－a，而不是a－1；
• (2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决 数学问题的关键之一，上题中的隐含条件
练习：
1.已知aba=3ba，+b求
a b
的值
2.已知a+b=-8,ab=12,求 b
b a
+a
a b
的值
2. a 已知 2 3 b 2 3 （c 2 3）2 0
2
x-3
1:
先化简，再求值：
（a 1）2 4 （a 1）-2 4
a
a
1 其中a =
，
3
(2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．
解： (2)∵x－1x2＝x＋1x2－4＝(－3)2－4＝5
∴x－1x＝± 5
2.注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.
例5：化简： 3 2 2 3 2 2
23
(2) 已知：a= 1 , b= 1
52
52
x y 的值； x y x y
, 求 a2 2ab b2 7的值
解：(1) x y x y x y
= x（ x y）- （ y x y） （ x y)( x y）
(2)Q a 1 5 2 , 52
b= 1 5 2. 52
= x xy- yx y x-y
－11，
∴a2b－ab2＝ab(a－b)＝(－11)×4 ＝
－44 .
(4)已知x＝22 － ＋
1 1
y2＋ 1
， ＝ 2－ 1
，求 x2－y2
x2＋y2
的值；
2－ 1
解：∵x＝2＋2＋1 1
2
＝(
2
－1)2＝3－2
，＝x＋yx－＝y( 6＋×1－)42＝23＋2 ，
x＋y2－2xy 62－2×1
1.x2＋xy＋y2是一个对称式，可先求出基本对称式x＋y＝4， xy＝1，然后将x2＋xy＋y2转化为(x＋y)2－xy，整体代入即 可.
(3)已知a＝3＋5 2 ，b＝5 3－2 ，求a2b
－ab2的值； 5
5
5
5
5
解：∵a－b＝(3＋2 )－(3－25 )＝4 5 ，
ab＝(3＋2 )(3－2 )＝
= x+y
x-y
当x 1 , y 1 23
时，
原式=
1
2 1
1
3 1
3 3
2 2
5.
23
a2 2ab b2 7 （a-b）2 7 42 7 9 3
例2： (1)已知 x＝2－ 3，y＝2＋ 3，求：x2＋xy＋y2 的值．
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15