·406· 第十二章 微积分在经济中的应用§1.1 微积分在经济中的应用内容网络图§1.2内容提要与例题一、极限在经济中的应用1.复利.例1 X 银行提供每年支付一次，复利为年利率8%的银行帐户，Y 银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户，它们之间有何差异呢？解 两种情况中8%都是年利率，一年支付一次，复利8%表示在每年末都要加上当前余额的8%，这相当于当前余额乘以1.08.如果存入100元，则余额A 为一年后：A=100（1.08）， 两年后：A=100（1.08）2，…，t 年后：A=100（1.08）t .而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次（即每三个月一次）利息，每次要加上当前余额的8%/4=2%。

因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有100（1.02）4元，所以余额B 为一年后：B =100（1.02）4，二年后：B =（1.02）4×2，…，t 年后：B =（1.02）4t。

注意这里的8%不是每三个月的利率，年利率被分为四个2%的支付额，在上面两种复利方式下，微积分在经济中的应用 数列在经济中的应用复利年有效收益极限在经济中的应用连续复利导数在经济中的应用成本函数 平均最小成本 需求函数 供给函数 均衡价格 收益函数 利润函数 边际函数弹性函数最大利润 供给弹性需求弹性 积分在经济中的应用 收入流的现值 收入流的将来值 消费者剩余 生产者剩余偏导数在经济中应用 求最大利润常微分方程与差分方程 在经济中的应用把经济中的某些问题转化为常微方程来求解·407·计算一年后的总余额显示一年一次复利：A=100（1.08）=108.00，一年四次复利：B=100（1.02）4=108.24.因此，随着年份的延续，由于利息赚利息，每年四次复利可赚更多的钱.所以，付复利的次数越频繁可赚取的钱越多（尽管差别不是很大）.2.年有效收益由上面的例子，我们可以测算出复利的效果，由于在一年支付四次，复利为年利率的8%的条件下投100元，一年之后可增加到108.24元，我们就说在这种情况下年有效收益为8.24%.我们现在有两种率来描述同一种投资行为：一年支付四次的8%复利和8.24%的年有效收益，银行称8%为年百分率（或年利率）或APR （aannual percentage rate ），我们也称为票面利率（票面的意思是“仅在名义上”）.然而，正是年有效收益确切地告诉你一笔投资所得的利息究意有多少.因此，为比较两种银行帐户，只须比较年收益.例2 银行X 提供每月支付一次，年利率为7%的复利，而银行Y 银供每天支付一次，年利率为6.9%的复利，哪种收益好？若分别用100元投资于二个银行，写出t 年后每个银行中所存余额的表达式.解 由题意知，设在银行X 的一年后的余额为A 1，t 年后的余额为A t ；设在银行Y 的一年后的余额为B 1，t 年后的余额为B t .由题意知),3072.1(100)286072.1(100)833005.1(100)1207.01(10012121≈==+=A ),4071.1(100)413071.1(100)189000.1(100)365069.01(1003653651≈==+=B所以银行X 帐户年有效收益%23.7≈，银行Y 帐户年有效收益%14.7≈.因此，银行X 提供的投资行为效益好.t 年后每个银行中所存余额则为.)4071.1(100)413071.1(100,)3072.1(100)286072.1(100t t t t t t B A ≈=≈=由此，我们可以得出：如果年利率为r （票面利率）的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额A t 则为).()1(是票面利率r nr P A ntt += 3. 连续复利在上式中，令n ∞→,得,rtt Pe A =如果初始存款为P 元的利息水平是年率利为r 的连续复利，则t 年后，余额B 可用以下公式计算：.rt Pe B =在解有关复利的问题时，重要的是弄清利率是票面利率还是年有效收益，以及复利是否为连续的.在现实世界中，有许多事情的变化都类似连续复利.例如，放射物质的衰变；细胞的繁殖；物体被周围介质冷却或加热；大气随地面上的高度的变化；电路的接通或切断时，直流电流的产生或消失过程等等.例3 设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就售出，总收入为0R （元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为.520t eR R =假定银行的年利率为r ，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求06.0=r 时的t 值.解 根据连续复利公式，这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为rtt A -=Re)(，而·408· t eR R 520=，所以.)(520rt t eR t A -=令.2510)51(20520r t r te R dt dArtt ==-=-，得唯一驻点 又],101)51[(3252022t r t e R dtAd rtt --=-则有.0)5.12(32510220<-==r eR dt Ad rt t于是，20251r t =是极大值点即最大值点，故窖藏2251r t =（年）售出，总收入的现值最大. 当06.0=r 时，119100≈=t （年）.4. 现值与将来值一笔P 元的存款，以年复利方式计息，年利率为r ，在t 年后的将来，余额为B 元，那么有.)1()1(t t r BP r P B +=+=或若把一年分成n 次来计算复利，年利率仍为r ，计算t 年，并且如果B 元为t 年后P 元的将来值，而P 元是B 元的现值，则.)1()1(ntnt nr BP nr P B +=+=或 当n 趋于无穷时，则复利计算息变成连续的了（即连续复利），即.rt rt rtBe eBP Pe B -===或 例4 你买的彩票中奖1百万元，你要在两种兑奖方式中进行选择，一种为分四年每年支付250 000元的分期支付方式，从现在开始支付；另一种为一次支付总额为920000元的一次付清方式，也就是现在支付.假设银行利率为6%，以连续复利方式计息，又假设不交税，那么你选择哪种兑奖方式？解 我们选择时考虑的是要使现在价值（即现值）最大，那么设分四年每年支付250 000元的支付方式的现总值为P ，则306.0206.006.0000250250000000250000250⨯-⨯--+++=e e e P818208730221411235000250+++≈.000920989915<=因此，最好是选择现在一次付清920 000元这种兑奖方式.二、导数在经济中的应用1. 导成本函数某产品的总成本C 是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入（如劳动力、原料、设备等）的价格或费用的总额，它由固定成本C 1与可变成本C 2组成，平均成本C 是生产一定量产品，平均每单位产品的成本.设产品数量为q ，成本为C ，若生产的产品越多，成本就越高，所以C 是增函数，对多数产品来说，如杯子、彩电等，只能是正整数，所以C 的图象通常如图12-1所示·409·图12-1 图12-2 图12-3 但我们通常将C 的图象看成一条通过这些点的连续曲线（图12-2），这样，对于研究问题更有利.成本函数通常具有如图12-2所示的一般形状（也有特殊的情形），C 轴上的截距表示固定成本，它是即使不生产也要支出的费用（例如厂房、设备等）.成本函数最初增长很快，然后就渐渐慢下来，因为生产产品的数量较大时，要比生产数量较少时的效率更高，即所谓规模经济.当产量保持较高水平时，随着资源的逐渐匮泛，成本函数再次开始较快增长，当不得不更新厂房、设备时，成本函数会急速增长.因此，C （q ）开始时是下凹的，后来变成上凹.设C 1为固定成本，C 2为可变成本，C 为平均成本，则.)()()(),(2121qq C q C q q C q C q C C C +==+= 2. 收益函数总收益R 是企业出售一定量产品所得到的全部收入.平均收益p 是企业出售一定量产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位产品的价格，用p 表示.p 与q 有关，因此，).(q p p =设总收益为R ，则).(q qp qp R ==3. 利润函数设利润为L ，则利润=收入— 成本，即.C R L -= 4. 需求函数“需求”指的是顾客购买同种商品在不同价格水平的商品的数量.一般来说，价格的上涨导致需求量的下降.设p 表示的商品价格，q 表示需求量.需求量是由多种因素决定的，这里略去价格以外的其它因素，只讨论需求量与价格的关系，则)(p f q =是单调减少函数，称为需求函数（图12-3）.若)(p f q =存在反函数，则)(1q fp -=也是单调减少函数，也称为需求函数.根据市场调查，可得到一些价格与需求的数据对),(q p .常用下列一些简单初等函数来拟合需求函数，建立经验曲线.,0,0,;0,0,≠>=>>-=p k p kq b a ap b q .0,,;0,0,,>=≠>=-b a ae q p k a pk p bp a 5. 供给函数“供给”指的是生产者将要提供的不同价格水平的商品的数量.一般说来，当价格上涨时，供给量增加.设p 表示商品价格，q 表示供给量，略去价格以外的其它因素，只讨论供给与价格的关系，则)(p q ϕ=是单调增加函数，称为供给函数（图12-3）.若)(p q ϕ=存在反函数，则)(1p q -=ϕ也是单调增函数.·410· 我们常用以下函数拟合供给函数，建立经验曲线..0,,;0,,;0,,>=>=>+=p a ae q a k kp q b a b ap q bp a6. 衡价格均衡价格是市场上需求量与供给量相等时的价格.在图12-3中表示为需求曲线与供给曲线相交的点处的横坐标*p p =,此时需求量与供给*q 称为均衡商品量.如图12-3所示,当*p p <时(不妨设1p p =),此时消费者希望购买的商品量为q 需,生产者卖出商品量为q 供.由于需供q q <,市场出现了商品供不应求,会形成抢购,从而导致价格上涨,即p 增大，因而生产者增加产品的生产，有-→*p p .当*p p >时，如图12-3中2p p =上，此时需供q q >，市场出现了供大于求，商品滞销，自然导致价格下跌，即p 减少，有+→*pp .总之，市场上的商品价格将趋向于均衡价格和均衡数量，即**q p 和.而两条曲线正是在此处相交，这意味着在平衡点处，一种数量为*q 的商品将被生产出来并以单价*p 销售 。