模糊计算和模糊推理
经典二值（布尔）逻辑



在经典二值（布尔）逻辑体系中，所有的分类 都被假定为有明确的边界；（突变） 任一被讨论的对象，要么属于这一类，要么不 属于这一类； 一个命题不是真即是假，不存在亦真亦假或非 真非伪的情况。（确定）
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天气冷热
雨的大小
风的强弱
人的胖瘦
年龄大小
个子高低
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模糊数学
•模糊概念 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、 高、低、长、短、贵、贱、强、弱、软、硬、 阴天、多云、暴雨、清晨。 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。
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模糊数学的产生与基本思想
•产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章《模糊集 》
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IEEE 系列杂志 主要杂志25种，涉及模糊内容20,000余种 • 国际会议 IFSA (Int. Fuzzy Systems Association) EUFIT、NAFIP、Fuzzy-IEEE、IPMU • 涉及学科 模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析， 模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；
并以此数作为 R1°R2 第i行第j列的元素。
R2=
0.2 0.4 0.6
0.8 0.6 0.4
求 R1°R2
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模糊推理
模糊命题 模糊概念 1 张三是一个年轻人。 2 李四的身高为1.75m左右。模糊数据 3 他考上大学的可能性在60％左右。 对相应事件发生 的可能性或确信 4 明天八成是个好天气。 程度作出判断。 5 今年冬天不会太冷的可能性很大。
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模糊二元关 系R是以 U×V为论域 的一个模糊 子集，序偶 (u,v)的隶属 度为uR(u,v)
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3 模糊关系
对于有限论域U={u1, u2 ,…, um }， V={v1, v2 ,…, vn },则U对V的模糊关系的隶属函数 可以用m×n阶模糊矩阵R来表示，即 R=(rij)m×n
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(Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 )
•基本思想 用属于程度代替属于或不属于。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等.
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模糊数学的发展
1975年之前，发展缓慢；1980以后发展迅速； 1990-1992 Fuzzy Boom • 杂志种类 1978年，Int. J. of Fuzzy Sets and Systems 每年1卷共340页，1999年8卷每卷480页 Int. J. of Approximate Reasoning Int. J. Fuzzy Mathematics Int. J. Uncertainty, Fuzziness, knowledge-based Systems
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人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、 农业、气象、信息、经济、文学、音乐 • 模糊产品 洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯
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国内状况
1976年传入我国 1980年成立中国模糊数学与模糊系统学 会 1981年创办《模糊数学》杂志 1987年创办《模糊系统与数学》杂志 我国已成为全球四大模糊数学研究中心 之一（美国、西欧、日本、中国）
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2 普通集合上的“关系”
例3、设U={ 红桃，方块，黑桃，梅花 } V={ A，1，2，3，4，5，6，7，8，9， 10，J, Q, K } 求U×V 解： U×V ＝ { ( 红桃， A) ，（红 桃 , 2 ）， …… ， （梅花, K） }，共52个元素。
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3 模糊关系
在普通集合上定义的“关系”都是确定 性关系，u和v或者有某种关系，或者没 有这种关系。 但是，在现实世界中，很多事物的关系 并不是十分明确的，如：人与人之间的 相像关系，人与事物之间的爱好关系等。
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模糊关系的合成
设 R1 与 R2 分别是 U×V 及 V×W 上的两个模糊 关系，则R1与R2的合成是指从U到W的一个模 糊关系，记为：R1°R2 其隶属函数为
μR1°R2 (u,w)= { μR1 (u,v) μR2 (v,w) }
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例：设有如下两个模糊关系： 方法： 0.4 0.5 0.1 取R1的第i行元素分别与R2 的第j列的对应元素相比 R1= 0.2 0.6 0.2 较，两个数中取其小者， 然后再在所得的一组最 小数中取最大的一个， 0.5 0.3 0.2
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也不是表示相加，它只是一个记号。
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μF(ui)/ ui 表示 ui 对模糊集 F的隶属度。当 某个隶属度为0时，可以略去不写。 如： A=1/ u1+0.7/ u2+ 0/ u3+0.5/ u4 B=1/ u1+0.7/ u2+0.5/ u4 它们是相同的模糊集。
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无论论域是有限的还是无限的，连续的 还是离散的，扎德都用如下记号作为模 糊 子集的一般表示形式：
讨论某一概念的外延时总离不开一定的范围。 这个讨论的范围，称为“论域”，论域中的每 个对象称为“元素”。
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模糊数学理论
表示集合的几种方法
（1）列举法：
列写出集合中的全体元素。
适用于元素有限的集合。
（2）定义法：
以集合中元素的共性来描述集合的一种方法。
适用于有许多元素而不能一一列举的集合。
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模糊数学理论
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模糊推理
模糊语言值是指表示大小、长短、多少等程度的一 些词汇。如：极大、很大、相当大、比较大。模糊 语言值同样可用模糊集描述。 模糊数：如果实数域R上的模糊集A的隶属函数μA(u) 在R上连续且具有如下性质： （1）A是正规模糊集，即存在u属于R，使得μA(u)=1。 （2）A是凸模糊集，即对于任意实数x，a<x<b,有 μA(x)>=min{μA(a), μA(b)}。 直观上看，模糊数的隶属函数的图形是单峰的，在 在峰顶是隶属度达到1。
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模糊知识的表示
（1）模糊产生式规则的一般形式是： IF E THEN H (CF,λ) 其中，E是用模糊命题表示的模糊条件；H是用模糊命题表示的 模糊结论；CF是知识的可信度因子，它既可以是一个确定 的数，也可以是一个模糊数或模糊语言值。λ是匹配度的阈 值，用以指出知识被运用的条件。例如： IF x is A THEN y is B (CF,λ) （2）推理中所用的证据也用模糊命题表示，一般形式为 x is A’ 或者 x is A’ (CF) （3）模糊推理要解决的问题：证据与知识的条件是否匹配；如 果匹配，如何利用知识及证据推出结论。
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为什么研究模糊数学
•人工智能的要求
• 取得精确数据不可能或很困难 •没有必要获取精确数据
模糊数学的产生不仅形成了一门崭新的数学学科， 而且也形成了一种崭新的思维方法，它告诉我们存 在亦真亦假的命题，从而打破了以二值逻辑为基础 的传统思维，使得模糊推理成为严格的数学方法。 随着模糊数学的发展，模糊理论和模糊技术将对于 人类社会的进步发挥更大的作用。
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A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5
解： （1）λ截集 A1={ u3 } A0.6={ u2,u3,u4 } A0.5={ u2,u3,u4,u5 } A0.3={ u1,u2,u3,u4,u5 } （2）核、支集 KerA={ u3 } SuppA={ u1,u2,u3,u4,u5 }
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2 普通集合上的“关系”
笛卡尔乘积(直积，代数积) 设U与V是两个集合，则称 U×V={ (u,v) | u∈U, v∈V } 为U与V的笛卡尔乘积。 若R是U×V上的一个子集，则称R为从U到V的 一个关系。记为： 对于U×V中的元素(u,v) ，若(u,v) ∈R，则 称u与v有关系R，否则，称U与v没有关系R。
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A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3
B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3
解：
A∩B =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 A∪B =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3
A =(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3
这里的积分号不是数学中的积分，也不 是求和，只是表示论域中各元素与其隶 属度对应关系的总括，是一个记号。
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A (u) B (u)
A (u) B (u)
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例：设U={ u1,u2,u3 }
A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：A∩B, A∪B及 A
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模糊推理
模糊命题
含有模糊概念、模糊数据的语句称为模糊命题。它 的一般表示形式为： x is A 或者 x is A (CF) 其中，A是模糊概念或者模糊数，用相应的模糊集 及隶属函数刻画； x是论域上的变量，用以代表所 论述对象的属性； CF是该模糊命题的可信度，它既 可以是一个确定的数，也可以是一个模糊数或者模 糊语言值。
集合的特征函数：设A是论域U上的一个集合， u U 对任意 ，令
1 CA (u) 0 如果 u A 如果 u A
则称CA(u)为集合A的特征函数。
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例：设有论域：U={ 1,2,3,4,5 }，A={ 1,3,5 }， 求其特征函数。 解：特征函数如下： 1 当u=1,3,5 CA(u)= 0 当u=2,4
对 于 一 般 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ模 糊 子 集 A 可 表 示 为 A={μ1, μ2, …,μn },其中μi表示论域中第i个元素 对A的隶属度。