其隶属度函数为：
C ( z ) A ( x) [ A ( x) C ( z )]
B ( y) B ( y) C ( z )

年龄
语言变量 X 语法规则 G
年青 1.0
中年 年老 “年龄”语言变量的五元体
语言值 T(X )
语义规则 M 论域 （岁） U
0
20
40
60
80
“年龄”语言变量的五元体
模糊逻辑
数理逻辑是建立在经典集合论上的研究概念、判断和推理形
式的一门学科，又称为经典逻辑。其最大的特点是所反映的内 容非真即假，在客观世界中这样的命题不胜枚举。比如： ◆ 北京是中华人民共和国的首都 ◆ 石头可以当饭吃 但是，还有一类命题很难做出这样明确的判断。比如： ◆ 机动车比自行车的速度更快 ◆ 南方的天气很热 对于这样的模糊性命题，经典逻辑往往不能给出符合实际情 况的结果。模糊逻辑是二值逻辑的推广，可以在[0,1]区间上任 意取值。模糊逻辑运算规则也是以经典逻辑运算规则为基础， 经过适当的扩展而形成的 。
( X , T ( X ), U , G, M )
模糊逻辑
一个完整的语言变量可定义为一个五元体 （X,T(X),U,G,M) 其中X——语言变量的名称； T(X)——语言变量的语言值； U ——论域； G ——语法规则； M ——语义规则。
实例
以“年龄”作为语言变量X，该语言变 量的论域U取[0, ∞)。根据语法规则可知， 描述语言变量“年龄”的语言值有“年 青”、“中年”、“年老”几种，那么T(X) 可表示为 T(X)＝年青＋中年＋年老 语义规则主要是用来反映实际论域中的岁 数与模糊集合“年青”、“中年”、“年 老”之间的关系。模糊语言变量的完整描 述见 后图
模糊逻辑
一切具有模糊性的语言都称为模糊语言 ， 它是一种广泛使用的自然语言，如何将模 糊语言表达出来，使计算机能够模拟人的 思维去推理和判断，这就引出了语言变量 这一概念 。语言变量是以自然语言中的词、 词组或句子作为变量 。语言变量的值称为 语言值，一般也是由自然语言中的词、词 组或句子构成。语言变量的语言值通常用 模糊集合来描述，该模糊集合对应的数值 变量称作基础变量。
A
~

由于模糊命题间的“且”、“或”、“非” 实质上可以通过模糊逻辑“交”、“并”、 “补”实现。因此，对于复合模糊命题的 真值，需要通过模糊合成运算来求取。

模糊命题之间的“并”、“交”、“补” 基本运算的定义：
模糊推理
推理是根据一定的规则，从一个或几个已知判断引伸
出一个新判断的思维过程。—般说来，推理都包含两个 部分的判断，一部分是已知的判断，作为推理的出发点， 叫做前提(或前件)。由前提所推出的新判断，叫做结论 (或后件)。 推理的形式主要有直接推理和间接推理。只有一个前提 的推理称为直接推理，由两个或两个以上前提的推理称 为间接推理。间接推理又可分为演绎推理、归纳推理和 类比推理等，其中演绎推理是生活中最常用的推理方法， 它的前提与结论之间存在着确定的蕴涵关系。
则模糊关系矩阵
R R ( x, y ) 0.8 0.4 0.1 0.8 0.5 0.5 0.5 0.2 0 0 0 0.4 0.2 0.5 0.6 0.6 0.1 0.1 0.5 0.6 0.7 0.5 0.2 0.6 0.6 0.6 0.7
于是，当输入为 A时，输出
B' A R 0.8 0.5 0.2 0.2 1 0.4 0.5 0.6 0.6 0.5 0.6 0.7 0.5 0.6 0.6
即：
0.5 0.6 0.6 B' v1 v2 v3
1、近似推理
2、模糊条件推理


例：对于一个系统，当输入A时，输出为B，否 则为C，且有
1 0 .4 0 .1 A u1 u2 u3 0 .8 0 .5 0 .2 B v1 v2 v3 0 .5 0 .6 0 .7 C v1 v2 v3
0.2 1 0.4 已知当前输入 A u u u 。 1 2 3 求输出B'。
x
模糊关系矩阵元素 AB ( x, y) 的计算方法： 玛达尼(Mamdani)法 ( A B) A B 其隶属度函数为：
AB ( x, y) A ( x) B ( y) R min( x, y)
1,2,3,4,5 X、 , Y 例： 设论域 X Y 上的模糊子集“大”、“小”、“较小”分别 定义为： 0 .4 0 .7 1 “大” 3 4 5 1 0.7 0.3 “小” 1 2 3
第一步： 求 ( A B) 的关系矩阵 R
R A B
第二步：求y
B A R
X Y

A
( x)B ( y) /( x, y)
A
R
B
即：利用关系矩阵可以得到近似推理的隶属 度函数为：
B ( y ) A ( x) A B ( x, y )
由玛达尼(Mamdani)推理法,
AB ( x, y) A ( x) B ( y) R( x, y)
可以得到由“小”到“大”的模糊关系矩阵：
0 0 R A XB 0 0 0
1 0 0 .4 0 .7 0 .7 0 0 .3 0 .3 0 .3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .4 0 .7
3、多输入模糊推理
4、多输入多规则推理
多输入模糊推理常应用于多输入单输出系统 的设计中，这种规则的一般形式为：
前提1：如果A且B，那么C 前提2：现在是 A且 B 结论： C ( A B) ( A B) C
隶属度函数
AB ( x, y) A ( x) B ( y)
“如果A且B，那么C”的隶属度函数表达式 就是：
A ( x) B ( y) C ( z)
其模糊关系矩阵 R AB C ，矩阵的计算就 变成：
[ A ( x) B ( y)] C ( z)
于是，规则的推理结果为：
C ( A B) [( A B) C ] [ A ( A C )] [ B ( B C )]
~ A
模糊命题从构成上划分，又可分为简单模糊命 题和复合模糊命题两种。简单模糊命题的一般形 ( x) 式为 :
A
~
其中元素x∈X，X是论域；A~是某个模糊概念所 对应的模糊集合 . 模糊命题的真值，由元素x对模糊集合A~的隶属程度 ( x)
表示。在模糊命题中，“is ”称作模糊谓词。简单模糊命题 通过连接词“且”、“或”、“非”等连接起来，就构成 了复合模糊命题。复合模糊命题一般形式如下：
模糊命题
模糊命题是指带有模糊性的陈述句。
模糊命题的真值不是绝对的“真”或“假”， 而 反映其隶属于“真”的程度。模糊逻 辑是表征模糊命题的工具，是研究模糊推理 最基本的数学手段。模糊命题可以分为性质 命题和关系命题两种，通常用大写字母 表示，如： P~：金属物体的导电性能好； ~ Q ：100比1大得多。


模糊推理规则

模糊规则也称模糊条件语句，其表达式为：
if x is A , then y is B
其中 A和B 分别是论域上的模糊集合定义的 语言值。
含有多个前提条件的称为多维模糊规则。
1、近似推理 2、模糊条件推理 3、多输入模糊推理 4、多输入多规则推理
前提1：如果x是A，则y是B 前提2：如果x是 A , 结论： y是 B A ( A B)
其隶属度函数写作：
A ( x) B ( y) (1 A ( x)) C ( y)
R ( x, y) AB AC
于是，当输入为 A 时，根据模糊推理 合成规则，得到模糊推理输出：
B A R A ( A B) ( A C)
首先求系统的模糊关系矩阵 R
R ( A B) ( A C)
由玛达尼(Mamdani)法得
0.8 A B A B ( x, y ) 0.4 0.1 0 A C AC ( x, y ) 0.5 0.5
0.5 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1 0 0 0.6 0.6 0.6 0.7
于是，当x”较小“时的推理结果
B' ( y) A' ( x) R
即：
0 0 B ' ( y ) 1 0.6 0.4 0.2 0 0 0 0 1 0 0.4 0.7 0.7 0 0.3 0.3 0.3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.4 0.7

模糊推理又称模糊逻辑推理，是指在确定的模糊规则下， 由已知的模糊命题推出新的模糊命题作为结论的过程。模 糊推理是一种近似推理是A, 则y是B”，其中A是X上的模 糊集，B是Y上的模糊集，模糊蕴涵关系往往是大量的实验观测 和经验的概括。在模糊推理过程中，认为该蕴涵关系提供的信 息是可靠的，它是近似推理的出发点。又知X上的一个模糊集A*， 它可能与A相近，也可能与A相去甚远，那么从模糊蕴涵关系能 推断出什么结论B*? (2) 已知模糊蕴涵关系“若x是A, 则y是B”，其中A是X上的模 糊集，B是Y上的模糊集，又知Y上的模糊集B*，那么从模糊蕴涵 关系能推断出什么结论A*?
1 0 . 6 0 . 4 0 . 2 “较小” 1 2 3 4
已知规则：若x小，则y大 问题：当x较小时，y应是多少？
解：已知模糊子集“大”、“小”、“较小” 的隶属度函数分别为：
A( x) 0,0,0.4,0.7,1 B ( x) 1,0.7,0.3,0,0 A' ( x) 1,0.6,0.4,0.2,0