分式的化简求值
学习目标
1、学会分式化解求值的常用方法及特殊方法。
2、学会分式化解的基本思路。
一、知识回顾
知识点1、分式的化简求值的策略：
（1）适当引入参数；
（2）拆项变形或拆分变形；
（3）整体代入；
（4）取倒数或利用倒数关系等。
知识点2、分式的化简求值的基本思路
（1） 由繁到简，即从比较复杂的一边入手进行恒等变形推到另一边；
（2） 两边同时变形为同一代数式；
❖ 证明：0=-右边左边，或1=右边
左边，此时0≠右边。
课前热身：1、已知2222
23,2342a b c a bc b a ab c -+==--则 的值等于（ ） A ．
12 B. 23 C. 35 D. 1924 2、、已知3,2,1=+=+=+x
z zx z y yz y x xy ，则x 的值为_____________． 3、若)0(072,0634≠=-+=--xyz z y x z y x ，则代数式222222103225z
y x z y x ---+的值等于（ ）．
A ．21-
B ．2
19- C ．15- D ．13- 4、已知1,0111222=++=++c b a c b a ，则c b a ++的值等于（ ）． A ．1 B ．1- C ．1或1- D ．0
二、 例题辨析
技巧1：着眼眼全局，整体代入
例1、已知22006a b +=，求b
a b ab a 421212322+++的值. 解：22222312123(44)3(2)3(2)282(2)2(2)2
a a
b b a ab b a b a b a b a b a b +++++===++++. 当22006a b +=时，原式=33(2)2006300922
a b +=⨯=． 例2、已知311=-y x ，求y
xy x y xy x ---+2232的值. 解：因为0xy ≠，所以把待求式的分子、分母同除以xy ，得
2211332()23232331111223522()x xy y y x x y x xy y y x x y
+---+--⨯====---------. 另解:xy y x xy
x y y x 3,3,311-=-∴=-∴=- . 2322()32(3)3332()23255
x xy y x y xy xy xy xy x xy y x y xy xy xy xy +--+⋅-+-∴====-------. 说明:已知条件及所求分式同时变形，从中找到切合点，再代值转化
变式练习：1.已知211=+y x ,求分式y
x xy y y x x 33233++++的值
答案：3
2 2. 若ab b a 32
2=+,求分式)21)(21(222b a b b a b -+-+的值 答案：3
技巧2：巧妙变形，构造代入
例3、已知2
520010x x --=，求21)1()2(23-+---x x x 的值. 解：323(2)(1)1(2)(11)(11)22
x x x x x x x ---+---+--=-- 322(2)(2)(2)542
x x x x x x x x ---==--=-+-. 因为2520010x x --=，所以原式200142005=+=.
变式练习：已知a b c ，，不等于0，且0a b c ++=， 求)11()11()11(b
a c c a
b
c b a +++++的值. 解：)11()11()11(b
a c c a
b
c b a +++++ 111111111()()()3b c a b c a b c a a b c
++++++=++- 111()()3a b c a b c
++++-=03=-3=-. 技巧3：参数辅助，多元归一
例4、已知
432z y x ==，求222z y x zx yz xy ++++的值。
解：设234
x y z k ===，（0k ≠），则2x k =，3y k =，4z k =. 所以222z y x zx yz xy ++++=292629261694812622222222==++++k
k k k k k k k . 变式练习：.已知2
3=-+b a b a ,求分式ab b a 22-的值
答案：4
技巧4：打破常规，倒数代入
例5、、已知41=+x x ，求1
242++x x x 的值. 解：因为42222221111()2142115x x x x x x x
++=++=+-+=-+=， 所以1242++x x x =15
1. 变式练习：若21
32=+-x x x ,求分式1242++x x x 的值. 答案：4/45
三、 归纳总结
归纳1. 分式化简的基本方法
①整体代入；②巧妙变形；③引进参数；④利用倒数等，不能一一枚举。
归纳2. 分式化简的基本思路：给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已知条件，可以从两个角度上来化简：
消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简
化简
结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简
代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。
四、拓展延伸
例1、已知,,,0.xy xz yz a b c abc x y x z y z ===≠+++且求证ab
ac bc abc x -+=2 【解析】 已知条件是y
x xy +的形式，不能化简，如果颠倒分子分母，将a y x xy =+改写成 y
x xy y x a 111+=+=的形式，使得x 、y 相互独立，简化已知条件。
写出变化后的形式y x a 111+=，z
x b 111+=，z y c 111+= x
z x y x z y c 2)11()11(111-+++=+= =
x
b a 211-+ 所以c
b a x 1112-+= =abc
ab ac bc -+ 则ab ac bc abc x -+=2，得证。
变式练习：已知a
c c b b a 111+=+=+
，且a 、b 、c 互不相等，求证：1222=c b a 【解析】
已知条件有三个字母，两个方程，若用a 表示b 、c ，能不能求出b 、c 的代数式都是问题。
因此我们变形不要太过着急，如果从消元化简的方式不能变形，就考虑从结构化简的方式来变形。
这道题条件的形式不复杂，分为整式和分式，将整式归类，分式归类： bc
c b b c b a -=-=-11，可以发现分式形式大致消失了， 剩下的是加减形式(a-b)、(b-c)和乘积形式bc
将能从已知条件得到的关系列出来 bc c b b a -=-,ac a c c b -=-,ab
b a a
c -=- 左边和左边相乘，右边和右边相乘得
2
22))()(())()((c b a b a a c c b a c c b b a ---=
---， 所以1222=c b a 例2、若abc=1，求
分析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂．下面介绍几种简单的解法．
解法1 因为abc=1，所以a ，b ，c 都不为零．
解法2 因为abc=1，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0．
变式练习 已知：x+y+z=3a(a ≠0，且x ，y ，z 不全相等)，求
分析 本题字母多，分式复杂．若把条件写成(x-a)+(y-a)+(z-a)=0，那么题目只与x-a ，y-a ，z-a 有关，为简化计算，可用换元法求解．
解 令x-a=u ，y-a=v ，z-a=w ，则分式变为
u 2+v 2+w 2+2(uv+vw+wu)=0．
由于x ，y ，z 不全相等，所以u ，v ，w 不全为零，所以u 2+v 2+w 2≠0，从而有
五、课后作业
1.已知
511=+y x ,求y
xy x y xy x +++-2232的值. （答案：1）
2. 若1=ab ,求221111b a +++的值（答案：1）
3．已知5
1,41,31=+=+=+c a ac c b bc b a ab ,求bc ac ab abc ++的值.（答案：1/6）
4. 已知a 2＋2a －1＝0，求分式2
4)44122(22+-÷++--+-a a a a a a a a 的值．（答案：1）
5、已知31=-x
x ，的值求1242++x x x ．（答案：1/12）。