ixt jyt kzt 。设飞机有一角速度 ix j y kz ，它会引起质量元 dm 产生一
t t t
牵连速度 Vdm 。牵连速度的向量值可按下式计算：
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i Vdm xt xt
j
k
t
y
yt
z
zt
t
i ( yt zt zt yt ) j ( zt xt xt zt ) k ( xt yt yt xt ) iVdmx jVdmy kVdmz
R rt (t rt )t
上式除以 t ，并令 t 0 ，可得：
(A.1)
dr drt t rt dt dt
上式中
(A.2）
dr dr 为向量相对于地坐标系变化率 （即绝对运动） ， t 为向量相对于动坐标系的 dt dt
变化率（即相对运动） ，t rt 为由动坐标系转动而引起的向量变化率（即牵连运动） 。上式 可以推广到任意向量的情况。对于 H t 、 Vt 向量有：
A.2 运动学方程组的建立 A.2.1 角位置运动学方程组
永远是沿垂直轴的， 永远是沿水平轴的。唯有 在飞机的三个姿态角的角速度中，
、 向机体三轴投影， xt 、 yt 、 是绕机体轴 OX t 的。 因些， 把 、 只有 xt 包含 的全部，
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z 都会含有 、 的投影分量。因此，用坐标变换可得 x 、 y 、 z 和 、 、 之间
(A.21)
dH Vxt sin Vyt cos cos Vzt cos sin (A.22) dt dZ Vxt sin cos Vyt (sin sin sin cos cos ) Vzt (cos cos sin sin sin ) dt
上式代入(A.24)得：
m m m
dVxt dt dVyt dt dVzt dt
Q cos cos Y sin Z cos sin mg sin P cos p m(zt Vyt yt Vzt ) Q sin cos Y cos Z sin sin mg cos cos P sin p m( xt Vzt zt Vxt ) Q sin Z cos mg sin cos m( yt Vxt xt Vyt )
复旦大学飞行器设计与工程本科生
飞行力学与飞行控制大作业
（文末附有MATLAB代码）
复旦大学力学与工程科学系
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飞机六自由度运动方程式的建立
A.1 动力学方程组的推导
设有一动坐标系 OX tYt Zt 相对于地坐标系 AX d Yd Z d 以角速度 t 转动，同时一质点在动 坐标系中相对于动坐标系做相对运动，经过 t 时间后，设 R 为质点相对于地坐标系的变 化量， r 为质点相对于动坐标系的变化量，则有公式：
d xt ( yt cos zt sin )tg dt
d ( yt cos zt sin ) dt cos
(A.17)
(A.18)
d yt sin zt cos dt
(A.19)
A.2.2 线位置运动学方程组 同角位置运动方程组的建立一样，用坐标变换的方法，先令地坐标系绕立轴转一个 角，然后再绕水平的横轴转一个 角，最后绕纵轴转一个 角。可得 Vxd 、Vyd 、Vzd 与 Vxt 、
(A.20) 取 OX d 与飞机的应飞航线重合，则 Vxd
dH dL ， L 为航程。 Vyd ， H Βιβλιοθήκη 高度。 dt dtVzd
dZ ， Z 为侧向偏离。于是得出： dt
dL Vxt cos cos Vyt (sin sin cos sin cos ) Vzt (cos sin sin sin cos ) dt
( I z I y ) yt zt I xy (zt xt ( I x I z )zt xt I xy ( yt zt
d yt dt d xt dt
) Mx ) I f f zt M y
(A.15)
2 2 ( I y I x )xt yt I xy ( y x ) I f f yt M z


Ix Iy Iz
dxt dt d yt dt dzt dt
( I z I y ) yt zt I xy ( zt xt ( I x I z )zt xt I xy ( yt zt
d yt dt dxt dt
) Mx ) My
(A.14)
dH dH t t H t dt dt dV dVt t Vt dt dt
应用向量代数法求出
(A.3）
(A.4）
dH dV （或 ）在 OX t 、 OYt 和 OZ t 三轴上的投影时有： dt dt
j k
t
i dVt dV i x j y k z xt dt dt Vxt i dVxt dt j dVyt k dVzt
Vyt 、 Vzt 之间的关系为：
Vxd cos cos sin sin cos sin cos cos cos Vyd sin sin cos sin sin cos cos sin Vzd cos sin sin sin cos Vxt V cos sin yt cos cos sin sin sin Vzt
同理可得：
dH yt (yt zt2 zt yt zt yt xt2 xt xt yt )dm dH zt (zt xt2 xt xt zt zt yt2 yt yt zt )dm
(A.12) (A.13)
对以上三式进行积分后代入式(A.9)，由于飞机对于包含 X t 、 Yt 两轴的平面是对称的， 故 xt zt dm 和 yt zt dm 都为零，于是我们可以得到：
(A.23) 将(A.8)的力方程化为左边为一阶微分方程的形式：
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m m m
dVxt dt dVyt dt dVzt dt
Fxt m( zt Vyt yt Vzt ) Fyt m( xt Vzt zt Vxt ) Fzt m( yt Vxt xt Vyt )
yt Vzt zt Vyt zt Vxt xt Vzt xt Vyt yt Vxt
(A.6)
dH 在 OX t 、 OYt 和 OZ t 三轴上的投影分别为： dt
dH xt dt dH yt dt dH zt dt yt H zt zt H yt zt H xt xt H zt xt H yt yt H xt
(A.10)
质量元的动量为 dm(Vdm ) Vdm dm ， 它再乘以动量臂就得到了质量元的动量矩， 在 Xt 轴 上的分量为：
dH xt ( ytVdmz ztVdmy )dm (xt yt2 yt xt yt xt zt2 zt xt zt )dm (A.11)
(A.24)
Fxt 、 Fyt 、 Fzt 分别表示作用在飞机上的合力在各机体轴上的分力，于是我们还可以得
到：
Fxt Q 0 P cos p Fyt Ltq Y Ltd G P sin p Z 0 0 Fzt sin cos sin Q P cos p cos cos sin cos cos sin sin Y P sin p 0 cos sin Z 0 cos cos sin cos sin 0 cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin sin cos G sin sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos 0 Q cos cos Y sin Z cos sin mg sin P cos p Q sin cos Y cos Z sin sin mg cos cos P sin p Q sin Z cos mg sin cos 0 Q cos cos Y sin Z cos sin mg sin P cos p Q sin cos Y cos Z sin sin mg cos cos P sin p Q sin Z cos mg sin cos
y
z
t
Vyt
Vzt
(A.5）
i ( yt Vzt zt Vyt ) dt dt j ( zt Vxt xt Vzt ) k ( xt Vyt yt Vxt )
于是，我们有：
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x y z
同理
dVxt dt dVyt dt dVzt dt
t
t
t
t
的关系：
xt 1 sin 0 yt 0 cos cos sin 0 sin cos cos zt
变换后可得方程：
(A.16)
按
dH M 建立的力矩方程式为： dt