飞行力学大作业1理论推导方程在平面地球假设下,推导飞机质心在体轴系下的动力学方。
质心惯性加速度的基本方程是式(5.1.7),其中动点就是在转动参考系F E 中的O y 。
这样质心相r' 对于地球的速度,已用来表示。
这里假设地轴固定于惯性空间,且。
因此,的原点的E V 0ω= E F 加速度就是与地球转动有关的向心加速度。
数值比较表明,这一加速度和g 相比通常可以略去。
0a 而对于式(5.1.7)中的向心加速度项的情况也是一样的,,也通常省略。
在式(5.1.7)中剩下r ωω' 的两项中,而哥氏加速度为。
后者取决于飞行器速度的大小和方向,并且在轨道速E r V'= 2E E V ω 度时至多为10%g 。
当然在更高速度时可能更大。
所以保留此项。
最后质心的加速度可以简化为如下形式:2E E E CE EE E a V V ω=+ 有坐标转换知:(1)()()222()E E E E E E CB BE CE BE E E E BE E BE E E E B E E E E E E E B B B B B B B B Ba L a L V V L V L V V V V V V ωωωωωωω==+=+=+-+=++ 体轴系中的力方程为:f=m 而 f=+mg+TCB a B A 设飞机的迎角为,侧滑角为,则体轴系的气动力表示为:αβ cos cos cos sin sin ()()sin cos 0sin cos sin sin cos x y BW W y Z z A D D A L A L L C C A L a a a L αβαβααβββββ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦重力在牵连垂直坐标系下为:(3)00V g g ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦设发动机的安装角为,发动机的推力在机体坐标系的表示如下:τ (4)cos 0sin Z x y T T T T T ττ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦由坐标转换可知 :(5)sin sin cos cos cos B BV V mg mL g mg θφθφθ-⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以由上述公式可知:+= m = m [] (6)sin sin cos cos cos mg θφθφθ-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦X Y Z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦CB a ()E E E B B B V V ωω++ 其中:(7)cos cos cos sin sin cos cos 0sin cos 00sin 0sin cos sin sin cos 0sin cos E B BW u V V V v L V w a a a a αβαβααβββββββ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(8)B p q r ω⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦E B EE B BE B p q r ω⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(9)带入原方程,可得其质心的动力学方程:cos sin [()()]cos sin [()()]sin cos cos [()()]EE x B B E Ey B B E Ez B B A T mg m u q q w r r v A mg m v r r u p p w A T mg m w p p v q q u τθθφτθφ+-=++-++=++-+-+=++-+ (10)(2)飞机的转动动力学方程:由G h = (11)且I I I h R R dm=⎰()I IB B B B R L R R ω=+ (12)由坐标变换知道:B BI I BI I IB B BI I IB B B h L h L R L R dm L R L R dmω==+⎰⎰ (13)由书上的(4.7,4)的规则知道:B BI I IB R L R L = (14)B B B B B B h R R dm R R dmω=+⎰⎰ (15)因为飞机一般认为是刚体飞机,故其变形分量一般认为为0,所以:(16)B B B B B B B B Bxxy zx B xyyyz zx yzz h R R dm R R dm I I I I I I I I I ωωκωκ==-=⎡⎤--⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎰⎰(17)22==0))()()()()x xy zx B xyyyz zx yzz xy yz r r x zx y z y yr ry zx z x xzr r z zx x y x y I I I I I I I I I I I L I p I r pq I I qr r h q h M I qI r p I I rp r h p h N I rI p qr I I pq q h p h κ⎡⎤--⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=-+---+=----+-=-----+∑∑∑∑∑∑ ((考虑发动机转子的转动惯量,可得(18)r r r B B B h κω=(19)r r B B B BB B B B h R R dm h h ωκω=+=+∑∑⎰ 可知在体轴系下的各转矩为:r r B BI I B B B B B B B B B BB B B G L G h h h h ωκωκωωκωω==+=++++∑∑(20)000x xy zx x xy zx x xy zx xy yyz xy y yz xy yyz zxyz z zx yz z zx yz z L I I I p I I I p r q I I I p M I I I q I I I q r p I I I q N I I I r I I I r q p I I I r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+--+---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-------⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 000r r xx r r y y r r z z h r q h h r p h h q p h ⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑∑∑ (3)(21)()E V VB B B V L V W =+ ;(22)B u V v w ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦y x B z W W W W ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()cos cos ()(sin sin cos cos sin )()(cos sin cos sin sin )E x y z xu W v W w W θψφθψφψφθψφψ=+++-+++ ()cos sin ()(sin sin sin cos cos )()(cos sin sin sin cos )E x y z yu W v W w W θψφθψφψφθψφψ=++++++-(23)()sin ()cos cos cos E x y zu W v W w θθφθ=++++ (4)由公式32V i j k ωωφθψ-=++ 再根据欧拉角的矩阵变化知(24)100i ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦30cos sin j φφ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦2sin cos sin cos cos k θθφθφ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当和均予忽略时,则[P ,Q ,R]=[p ,q ,r],即F B 相对于F I 的角速度,方程可写成如下形式:V ωE ω(25)10sin 0cos cos sin 0sin cos cos P Q R θφφθφθφθφψ⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦通过求逆,知:(26)1sin tan cos tan 0cos sin 0sin sec cos sec P Q R φφθφθθφφψφθφθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ (5)当无风和具有对称面的刚体飞机,其六自由度运动方程为:质心动力学方程:(27)cos sin [()()]cos sin [()()]sin cos cos [()()]EE x B B E E y B B E Ez B B A T mg m u q q w r r v A mg m v r r u p p w A T mg m w p p v q q u τθθφτθφ+-=++-++=++-+-+=++-+ 若忽略地球的自转则可得:(28)cos sin []cos sin []sin cos cos []x y z A T mg m uqw rv A mg m vru pw A T mg m wpv qu τθθφτθφ+-=+-+=+--+=+- 绕质心转动的动力学方:由于具有对称面,且可以忽略有:B κ==0xy yz I I 根据(2)推出其简化的动力学方程为:(29)22))()()()()x zx y z y zx z x z zx x y L I p I r pq I I qrM I qI r p I I rp N I rI p qr I I pq =-+--=----=---- ((质心运动学方程:根据(3)可知,(30)()cos cos ()(sin sin cos cos sin )()(cos sin cos sin sin )()cos sin ()(sin sin sin cos cos )()(cos sin sin sin cos )()sin ()cos cos cos E x y z E x y z E x y xu W v W w W yu W v W w W zu W v W w θψφθψφψφθψφψθψφθψφψφθψφψθθφθ=+++-+++=++++++-=++++ 由于是无风,故(31)0x y z W W W ===(32)cos cos (sin sin cos cos sin )(cos sin cos sin sin )cos sin (sin sin sin cos cos )(cos sin sin sin cos )sin cos cos cos E E E xu v w yu v w zu v w θψφθψφψφθψφψθψφθψφψφθψφψθθφθ=+-++=+++-=++ 绕质心转动的运动学方程:根据(4)可知(33)sin tan cos tan cos sin sin sec cos sec P Q R Q R Q R φφθφθθφφψφθφθ=++=-=+ 二、小扰动线化设基准运动为对称定常直线水平飞行,假设飞机是具有对称面的刚体。