7. 事件的对立
AB , A B B A

—— A 与B 互相对立
A
每次试验 A、 B中
有且只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为 B A
注意：“A 与B 互相对立”与
A B “ 与 互斥”是不同的概念 2019年10月28日星期一
10
8. 完备事件组 n
若 A1, A2,, An两两互斥，且 Ai
则称 A1, A2,, An为完备事件组 i1
或称 A1, A2,, An为 的一个划分
A1
A2 A3
2019年10月28日星期一
An

An1
11
运算律
事件 对应 运算
集合 运算
吸收律 A A A
10个 repeaters 的海底电缆线10年免维修的机率为 P(A1且…且A10) = P(A1)×…×P( A10) = 0.99910 =
0.990 事实上，一 条海底电缆在线有300个 repeaters ，则
10年免维修的机率为 2019年010.7月4P21(8A日1星且期一…且A300) = P(A12)7×…× P( A300) = 0.999300 =
P(事件) =TX
X = 使某结果
发生的事件数 量
T = 可能事件
的总数
检查了100个 零件，两个 有缺陷!
2019年10月28日星期一
20
用列联表确定联合事件 Using Contingency Table
事件
A1 A2 总计
事件
B1
B2
总计
P(A 1 B 1 ) P(A 1 B 2 ) P(A 1 )
第一张抽到红方块后再抽到红方块的概率：
P(再抽到红方块|第一张抽到红方块) = 8/40
两张都抽到红方块的概率：
P(两张红方块) = P(第一张抽到红方块) P(再抽到红方块|第一张抽到红方块)
= 9/41 8/40 = 0.044
2019年10月28日星期一
35
乘法规则的推广
任意三个事件A、B、C同时发生的概率： P(A且B且C)= P((A且B)且C) = P(A且B)P(C|A且B) = P(A)P(B|A)P(C|A且B)。
P(至少一人成为合伙人) = 0.7+0.5 0.3=0.9
2019年10月28日星期一
30
例：合伙人概率研究图示

非M且非D
0.1
A
M且非D 0.2
A B D且非M 0.4
D且M 0.3
B
2019年10月28日星期一
31
条件分布的概率表示法
随机选出一位自杀者，使用firearm的概率 P(firearm)=18,940/31,510=0.6
保险学
第四章：保险的数理基础
2019年10月28日星期
1
一
保险的数理基础
随机事件与概率 概率分布与数字特征 大数定律及其在保险中的应用---危险集
合
保险费率的厘定原则与影响因素 人寿保险费率的厘定原则与影响因素 财产保险费率的厘定
2019年10月28日星期一
2
第一节 随机事件与概率
§4.1.1 随机现象、随机试验和随机事 件
随机现象：两个特点 随机试验：三个特征 样本空间：所有可能结果组成的集合 随机事件：样本空间的子集 基本随机事件：最简单的随机事件
2019年10月28日星期一
3
事件的关系与运算：
文氏图示法(Venn Diagram)
以长方形区域代表样本空间 S，
在其内部以封闭曲线围起来的区
域代表事件，描述事件间的各种
关系的方法，称为文氏图示法
(Venn Diagram)。
2019年10月28日星期一
4
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
AB
2. 事件的相等
A B AB 且 B A
2019年10月28日星期一
5
3. 事件的并(和)
AB 或AB
颜色
类型
红
黑
总计
A牌 非A牌
2/52 24/52
2/52 24/52
4/52 48/52
P(A牌)
总计
26/52 26/52 52/52
P(红牌)
2019年10月28日星期一
P(红A)
22
独立事件
两事件的发生概率不会互相影响，则称 两事件互相独立(independent events)。
事件 A (或B)的发生概率，不会因为事件 B (或A)是否发生而有不同，则称事件 A 与 B 互相独立。
=(6,095/31,510)(2,559/6,095) 2019年1=0月P2(8f日em星期al一e)P(firearm|femal3e3)
乘法规则
任意两个事件A, B 的条件概率
条件概率(conditional probability)：给定事件A 已发生时，事件B发生的概率，记为P(B|A)。
随机选出一位自杀者，选出女性的概率 P(female)= 6,095/31,510=0.193
2019年10月28日星期一
32
条件分布的概率表示法（续）
若已知选出的是女性，使用firearm的概率 P(firearm|female)=2,559/6,095=0.42
自杀者是女性又使用firearm的概率 P(female且firearm)= 2,559 /31,510=0.081
—— A 与B 的和事件
A B 发生 事件 A与事件B 至
少有一个发生

A
AB B
n
A1, A2,, An 的和事件 —— Ai
i1
A1, A2,, An , 的和事件 ——

Ai
2019年10月28日星期一
6
i1
4. 事件的交(积)
A B 或 AB
—— A 与B 的积事件
2019年10月28日星期一
25
例：孟德尔(Mendel)的豌豆
概率乘法规则的应用 豌豆育种研究
每株含有两种可能颜色的基因，黄色(Y)为显 性、绿色(G)为隐性，发生的概率各半
株与株间互相独立 父母株交配后，子株为绿色的机率
P(G且 G) = P(G)P(G)= 0.5×0.5=0.25
15
例 化简事件 ( AB C) AC
解 原式 AB C AC ABC AC
(A B)C AC AC BC AC
A(C C) BC
A BC A BC
2019年10月28日星期一
16
例 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系
乘法规则(multiplication rule)
任两事件A与 B 同时发生的概率 P(A且B)= P(A) P(B|A)。
2019年10月28日星期一
34
乘法规则的应用
扑克牌游戏的概率：
已出现的11张牌中有4张红方块，求再抽到两张红方块的概 率
第一张抽到红方块的概率：
P(第一张抽到红方块) = 9/41
( AB)C A(BC)
分配律 (A B) C (A C) (B C)
A (BC) (A B)(A C)
反演律
AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
AB A B
n
n
Ai Ai
i1
i1
运算顺序： 逆交并差，括号立的随机变量
两随机变量X和Y，如果属于X的样本空
间SX的任意事件必和属于Y样本空间SY的
任意事件独立，则称两随机变量独立；
两独立(离散)随机变量的乘法规则：
任意两事件 { X = x} 与 { Y = y}， P({ X = x}且{ Y = y}) = P({ X = x})P({ Y = y}) x, y
中文版的书都是非数学书
2019年10月28日星期一
18
第二节 概率基础
1. 事件发生的可能性 的数字度量
1
简单事件
联合事件
复合事件
.5
2. 取值在 0 和 1 之间
3. 所有事件之和为 1
0
2019年10月28日星期一
19
必然 不可能
简单事件的概率 Probability of Simple Event
A A A
A ( AB) A A (A B) A
重余律 A A
幂等律 A A A A A A
差化积 A B AB A (AB)
2019年10月28日星期一
12
交换律 A B B A AB BA 结合律 (A B) C A (B C)
2019年10月28日星期一
8
6. 事件的互斥(互不相容)
AB —— A 与B 互斥 A
A、 B不可能同
时发生

B
A1, A2,, An 两两互斥
Ai Aj ,i j,i, j 1,2,,n
A1, A2,, An , 两两互斥
2019年10月28日星期一 Ai Aj 9,i j,i, j 1,2,
2019年10月28日星期一
13
B A
B A
2019年10月28日星期一
分配律 图示
C
A (BC)
(A B)(AC)
C
14
例 用图示法简化 (A B)(A B). AB