第九章 重积分一、选择题1.I=222222(),:1x y z dv x y z Ω++Ω++=⎰⎰⎰球面部， 则I= [ C ]A. ⎰⎰⎰ΩΩ=dv 的体积 B.⎰⎰⎰142020sin dr r d d θϕθππ C. ⎰⎰⎰104020sin dr r d d ϕϕθππ D. ⎰⎰⎰14020sin dr r d d θϕθππ 2. Ω是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1所围闭区域， 则⎰⎰⎰Ω=xdxdydz [ B ]A. ⎰⎰⎰---y x x dz x dy dx 21021010B. ⎰⎰⎰---yx x dz x dy dx 21021010 C. ⎰⎰⎰-1210210dz x dx dy y D. ⎰⎰⎰---y x y dz x dx dy 21021010 3. 设区域D 由直线,y x y x ==-和1x =所围闭区域，1D 是D 位于第一象限的部分，则[B ]（A ）()()1cos d d 2d d DD xy x xy x y xy x y +=⎰⎰⎰⎰（B ）()()()1cos d d 2cos d d DD xy x xy x y x xy x y +=⎰⎰⎰⎰（C ）()()1cos d d 2(cos())d d DD xy x xy x y xy x xy x y +=+⎰⎰⎰⎰（D ）()()cos d d 0Dxy x xy x y +=⎰⎰4. Ω:1222≤++z y x ， 则⎰⎰⎰Ω=++++++dxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 [ C ]A. 1B. πC. 0D. 34π 5．222{(,),0}D x y x y a y =+≤≥，其中0a >，则Dxy d σ=⎰⎰DA.220sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰ B. 300sin cos ad r dr πθθθ⎰⎰C. 3(sin cos )ad r dr πθθθ-⎰⎰ D. 3200sin cos a d r dr πθθθ⎰⎰-302sin cos ad r dr ππθθθ⎰⎰6．设,010,()()0,a x a f x g x ≤≤⎧>==⎨⎩其余，D 为全平面，则()()D f x g y x dxdy -=⎰⎰ CA.aB. 212a C. 2a D.+∞7．积分cos 20(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ⎰⎰可写为 DA. 100(,)dy f x y dx ⎰B. 100(,)dy f x y dx ⎰ B. 11(,)dx f x y dy ⎰⎰D. 10(,)dx f x y dy ⎰8.交换二次积分22(,)x dx f x y dy ⎰⎰的积分顺序为（ A ）.(A) 420(,)dy f x y dx ⎰(B) 400(,)dy f x y dx ⎰(C) 242(,)xdy f x y dx ⎰⎰(D) 42(,)dy f x y dx ⎰9.设平面区域D 由140,0,,1x y x y x y ==+=+=围成，若31[ln()],DI x y dxdy =+⎰⎰32(),DI x y dxdy =+⎰⎰ 33[sin()],DI x y dxdy =+⎰⎰ 则123,,I I I 的大小顺序为（ C ）.(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 132I I I << (D) 312I I I << 10．221x y ≤+≤⎰⎰的值 （ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 11．设积分区域D 由||,||(0)x a y a a ==>围成，则Dxydxdy =⎰⎰（ C ）.(A)1 (B) 14 (C) 0 (D) A, B, C 都不对12．221x y ≤+≤⎰⎰的值 （ B ）.(A) 大于零 (B) 小于零 (C) 0 (D) 不能确定 13.把二次积分2210x y dx dy +⎰化为极坐标形式的二次积分（B ）.(A) 221r d re dr πθ⎰⎰ (B) 2221r d re dr ππθ-⎰⎰(C) 22210r d e dr ππθ-⎰⎰ (D) 22100r d e dr πθ⎰⎰14. 设积分区域D 是由直线y=x,y=0,x=1围成，则有⎰⎰=Ddxdy （ A ）（A ）⎰⎰x dydx 01（B ）⎰⎰ydxdy 01（C ）⎰⎰01xdydx （D ）⎰⎰yxdxdy 115. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=D dxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）2316．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )；(A) D x D,0d )1(⎰⎰>-σ：x ≤1，y ≤1；(B) D x D,0d )1(⎰⎰>+σ：x ≤1，y ≤1；(C) D y x D,0d )(22⎰⎰>--σ：22y x +≤1；(D) D y x D,0d )ln(22⎰⎰>-σ：x +y ≤117．=+⎰⎰y x y x Dd d 22( C )，其中D ：1≤22y x +≤4；(A) 2π421d d r r θ⎰⎰； (B) 2π41d d r r θ⎰⎰；(C) 2π221d d r r θ⎰⎰； (D) 2π201d d r r θ⎰⎰18. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）219. dxdy y x y x ⎰⎰≤++132222的值等于（ A ）A. π43；B. π76；C. π56；D. π2320. 二重积分⎰⎰=≤≤≤≤1010y x xydxdy （ C ）（A ）1 （B ）21 （C ）41（D ）221. 设D 是区域(){}()π8 ,|,22222=⎰⎰+≤+dxdy y x a y xy x D 又有，则a=（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）822. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=⎰⎰dxdy y xD （ B ）（A ）2e （B ）21（C ）e （D ）1 23. 设D 由1,2,===y x y x y 围成，则⎰⎰=Ddxdy （ B ）（A ）21 （B ）41 （C ）1 （D ）23二、填空题 1．变换积分次序(,)f x y dx =1(,)(,)f x y dy f x y dy +2．比较大小：其中D 是以(0,0),(1,1),(1,1)-为顶点的三角形 22()Dx y dxdy -⎰⎰< D3．变换积分次序 2142(,)ydy f x y dx -=⎰⎰1411(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰4．交换二次积分的积分次序()2211,x dx f x y dy ⎰⎰=()421,dy f x y dx ⎰5. 交换 dx e dy yx ⎰⎰1012的积分次序后的积分式为210xx dx dy e ⎰⎰，其积分值为()112e - 6、交换二次积分的积分次序后，)(1010y x ，f dx x⎰⎰-dy=⎰⎰-1010),(ydx y x f dy7、交换二次积分的次序⎰⎰-=ax ax xdy y x f dx 022),(0(,)a ya dy f x y dx ⎰⎰三、计算与证明1. 计算⎰⎰Ddxdy xy 2, 其中D 是抛物线2y =2x 与直线x=21所围闭区域 解：⎰⎰Ddxdy xy 2=⎰⎰--11212122y dx xy dy=⎰--1162)8181(dy y y=2112. 计算I=⎰⎰+Ddxdy y x 22sin , D={(x, y)22224ππ≤+≤y x }解：令x=rcos θ, y=rsin θ则I=⎰⎰πππθ220sin rdr r d=26π-3. 设G(x)在10≤≤x 上有连续的)(''x G , 求I=dxdy y x xyG D⎰⎰+)(22'', 其中D 为122≤+y x 的第一象限部分解：在极坐标下计算积分，D={(r,θ)20,10πθ≤≤≤≤r }I=θθθ⎰⎰Drdrd r G r )(cos sin 2''2=⎰⎰202''13)(cos sin πθθθdr r G r d=dr r G r )(212''103⎰ =du u G u )(41''1⎰ =)]1(0)1([41'G G G -+）（ 4.xy dxdy Ω⎰⎰,其中Ω是以a 为半径，坐标原点为圆心的圆。

解：xy dxdy Ω⎰⎰=aadx dy -⎰=22()aaa x x dx --⎰=2202()aa x xdx -⎰（1分）=42a5.22224x y ππ≤+≤⎰⎰解：22224x y ππ≤+≤⎰⎰=220sin d r rdr πππϕ⎰⎰=22sin r rdr πππ⎰=26π- 6．222()xy z ze dxdydz -++Ω⎰⎰⎰，其中Ω为球体2221x y z ++≤在0z ≥上的部分。

解：利用球面坐标变换sin cos sin sin cos x r y r z r ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，Ω对应于1{(,,)02,01,0}2r r πϕθθπϕΩ=≤≤≤≤≤≤故222()xy z ze dxdydz -++Ω⎰⎰⎰＝213sin cos r r e drd d ϕϕϕθ-Ω⎰⎰⎰＝22132000sin cos r d r e dr d ππθϕϕϕ-⎰⎰⎰＝11()2eπ-7.计算重积分211y xI dx e dy -=⎰⎰的值。

解：210(2)yy I dy edx -=⎰⎰分222100110()|(2)1|211(1)(1)2y yy y xe dy ye dy e e---===-=-⎰⎰分分8．计算三重积分222()x y z dv Ω++⎰⎰⎰，其中222:2x y z z Ω++≤。

解：Ω的边界曲面方程2222x y z z ++≤用球面坐标表示：22cos r r ϕ=，即2cos r ϕ=。

Ω为：02,0,02cos 2r πθπϕϕ≤≤≤≤≤≤，于是22222cos 2222200022cos 2200050()sin (2)sin 322sin cos 532(3).15x y z dv d d r r dr d d r r drd ππππϕπϕθϕϕθϕϕπϕϕϕπΩ++===⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分分9．证明：000()().a yaa xa x dy ef x dx xe f a x dx --=-⎰⎰⎰证明：左边0()(2)a aa x xdx e f x dy -=⎰⎰分()()()(3)()(3)aa x a x uu aax e f x a x dxe f a u udu xe f a x dx --==---=-⎰=⎰⎰令分分=右边所以原式得证。