数学的分类纵向：初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向：基础数学（代数、几何、分析）应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外：纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、20世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。

他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。

这23个问题通称希尔伯特问题。

这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。

在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。

到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。

为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。

大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。

因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。

1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。

德国女数学家诺特（Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。

她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。

还有其它许多数学大成果。

20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。

但从数学以外，或从推动社会发展这个角度来看，也许与计算机的算法研究有关的数学，更有影响。

这种研究发生在第二次世界大战前后，有三位数学家（图灵、哥德尔、冯.诺依曼），而不是工程师，由于对于计算机的诞生、设计和发展起了奠基和指导的作用，因此被列入20世纪“百年百星”的名单中。

另外两位获得诺贝尔奖的纯数学家（康托洛维奇、纳什）也是与算法研究（或军事数学）有关，后者被拍成电影，刚获得奥斯卡奖。

我国首届国家最高科技奖（不是数学奖）得主吴文俊的工作也包括了算法的研究。

有一次在中国十大科技进展中有一项数学家堵丁柱的工作，也是有关算法的。

值得注意的是，这些人都没有获得菲尔兹奖。

与算法研究（或军事数学）有关的，还有筹学、密码学以及大规模科学工程计算等等。

二十世纪中，以算法为主干的数学研究对于外部世界，科技和军事，有相当直接的影响。

本世纪（信息、材料、生物）是否还会如此？二、数学研究领域的重大难题应该说在20世纪，无论是经典的数学分支，还是新兴的数学分支，都取得了相当大的进展。

然而我们也看到，在数学研究的历程中，存在诸多遗憾，很多难题至今没有解决，或者没有得到完美的解决。

在数学研究当中在数学领域存在着哪些重大难题？至于难题，应该说解决需要很大的决心，我以为我们科研工作者能做好自己的本职工作，上个世纪没有解决的难题，这个世纪也未必可以解决。

应该说二十世纪是数学大发展的世纪。

从报道上看，数学的许多重大难题得到了解决，如费尔玛大定理的证明，有限单群分类工作的完成等，从而使数学的基本理论得到空前发展。

计算机的出现是20世纪数学发展的重大成就，同时极大推动了数学理论的深化和数学在社会和生产力第一线的直接应用。

回首20世纪数学的发展，数学家们深切感谢20世纪最伟大的数学大师大卫·希尔伯特。

正如我们在开始谈到的，希尔伯特在1900年8月8日于巴黎召开的第二届世界数学家大会上的著名演讲中提出了23个数学难题。

希尔伯特问题在过去百年中激发数学家的智慧，指引数学前进的方向，其对数学发展的影响和推动是巨大的，无法估量的。

效法希尔伯特，许多当代世界著名的数学家在过去几年中整理和提出新的数学难题，希望为新世纪数学的发展指明方向。

数学界也爱搞点新闻效应，2000年初美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”，克雷数学研究所的董事会决定建立七百万美元的大奖基金，每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。

克雷数学所“千年大奖问题”的选定，其目的未必是为了形成新世纪数学发展的新方向，而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。

2000年5月24日，千年数学会议在著名的法兰西学院举行。

会上，1998年费尔兹奖获得者伽沃斯（Gowers）以“数学的重要性”为题作了演讲，其后，塔特（ Tate）和阿啼亚 (Atiyah) 公布和介绍了这七个“千年大奖问题”。

克雷数学研究所还邀请有关研究领域的专家对每一个问题进行了较详细的阐述。

克雷数学研究所对“千年大奖问题” 的解决与获奖作了严格规定。

每一个“千年大奖问题”获得解决并不能立即得奖。

任何解决答案必须在具有世界声誉的数学杂志上发表两年后且得到数学界的认可，才有可能由克雷数学研究所的科学顾问委员会审查决定是否值得获得百万美元大奖。

这七个“千年大奖问题”是：NP 完全问题，郝治（Hodge）猜想，庞加莱（Poincare）猜想，黎曼（Rieman ）假设，杨－米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔－斯托可（Navier-Stokes）方程，BSD（Birch and Swinnerton-Dyer）猜想。

“千年大奖问题”公布以来，在世界数学界产生了强烈反响。

这些问题都是关于数学基本理论的，但这些问题的解决将对数学理论的发展和应用的深化产生巨大推动（第一个问题就是关于计算机算法的一个基本理论）。

认识和研究“千年大奖问题”已成为世界数学界的热点。

不少国家，包括我国数学家，正在组织联合攻关。

黎曼(Riemann)假设:有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2,3,5,7,等等。

这样的数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。

在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式;然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。

著名的黎曼假设断言，方程z(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。

这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。

证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口:量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。

大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。

基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。

尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。

特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于"夸克"的不可见性的解释中应用的"质量缺口"假设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。

在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性:起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。

数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。

虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。

挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托克斯方程中的奥秘。

贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想:数学家总是被诸如x^2+y^2=z²那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。

欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。

事实上，正如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。

当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通-戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。

特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点。

三、数学研究领域的重大难题数学领域其他的难题可以说层出不穷，简单的至少有以下几个：第一个是哥德巴赫猜想哥德巴赫（Goldbach）是德国一位数学家，生于1690年。

1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等。

公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想：(a) 任何一个>=6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。

(b) 任何一个>=9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想。

欧拉在6月30图1 大数学家欧拉日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。

当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3+ 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 +7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 +13, . . . . 等等。

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。

但严格的数学证明尚待数学家的努力。

从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。

200年过去了，没有人证明它。

哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。

到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。

1920年，挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比36大的偶数都可以表示为（9+9）。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9+9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了“哥德巴赫猜想”。