数学必修四测试卷一、选择题（本大题共12道小题，每题5分，共60分） 1．函数y ＝sin＋cos⎪⎭⎫ ⎝⎛2π ＜ ＜ 0α的值域为( )．A ．(0，1)B ．(－1，1)C ．(1，2]D ．(－1，2)2．锐角三角形的内角A ，B 满足tan A －A2sin 1＝tan B ，则有( )． A ．sin 2A －cos B ＝0 B ．sin 2A ＋cos B ＝0 C ．sin 2A －sin B ＝0D ．sin 2A ＋sin B ＝03．函数f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x 是( )．A ．周期为 的偶函数B ．周期为的奇函数C ．周期为2的偶函数D ．周期为2的奇函数4．下列命题正确的是（ ）A ．单位向量都相等B ．若a 与b 是共线向量，b 与c 是共线向量，则a 与c 是共线向量C ．||||a b a b +=-，则0a b ⋅=D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=5．已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为060，那么3a b +=（ ）A ．7B ．10C ．13D ．46．已知向量a ，b 满足1,4,a b ==且2a b ⋅=,则a 与b 的夹角为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 7.在ABC 中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=3，则C 的大小应为( )A ．3πB ．6πC ．6π或π65D ．3π或32π8. 若，则对任意实数的取值为（ ）A. 区间（0，1）B. 1C.D. 不能确定9. 在中，，则的大小为（ ）A. B. C. D.10. 已知角α的终边上一点的坐标为（32cos,32sin ππ），则角α的最小值为（ ）。

A 、65π B 、32π C 、35π D 、611π11. A ，B ，C 是∆ABC 的三个内角，且B A tan ,tan 是方程01532=+-x x 的两个实数根，则∆ABC 是（ ）A 、等边三角形B 、锐角三角形C 、等腰三角形D 、钝角三角形12. 已知y x y x sin cos ,21cos sin 则=的取值范围是（ ） A 、]1,1[- B 、]21,23[- C 、]23,21[- D 、]21,21[-二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知方程01342=+++a ax x （a 为大于1的常数）的两根为αtan ，βtan ，且α、∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π，则2tan βα+的值是_________________.14. 若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += 。

15.给出四个命题：①存在实数α，使1cos sin =αα；②存在实数α，使23cos sin =+αα；③)225sin(x y -=π是偶函数；④8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴方程；⑤若βα,是第一象限角，且βα>，则βαsin sin >。

其中所有的正确命题的序号是_____。

16.sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61，∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ π，2π，则sin 4的值为 ．三、解答题（本题共6小题，共70分） 17.（10分）已知，求的最小值及最大值。

18.（12分）已知cos ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝53，127π＜x ＜47π，求x x x tan －1sin 2＋2sin 2的值．19.（12分）已知函数0,0)(sin()(>Φ+=ωωx x f ≤Φ≤)π是R 上的偶函数，其图像关于点M )0,43(π对称，且在区间[0，2π]上是单调函数，求Φ和ω的值。

20.（12分）已知向量⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ,且,2,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈πx 求(1) b a ⋅及b a+;(2)若()b a b a x f +-⋅=λ2的最小值是23-,求实数λ的值.21. （12分）已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，255a b -=． （1）求cos()αβ-的值； （2）若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α的值．22.（12分）已知向量)23sin 23(cos x x ，=a ，)2sin 2(cos xx -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ．（1）当b a ⊥时，求x 值的集合； （2）求||c a -的最大值．2011～2012学年度下学期期末考试高一数学答案（理科）第Ⅰ卷（选择题，共12题，共60分）1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD 1．C 解析：∵ sin ＋cos＝2sin(＋4π)，又 ∈(0，2π)，∴ 值域为(1，2]．2．A 解析：由tan A －A 2sin 1＝tanB ，得A 2sin 1＝tan A －tan B ⇒AA cos sin 21＝BA B A cos cos －sin )(⇒cos B ＝2sin A sin(A －B )⇒cos[(A －B )－A ]＝2sin A sin(A －B ) ⇒cos(A －B )cos A －sin A sin(A －B )＝0，即cos(2A －B )＝0．∵ △ABC 是锐角三角形， ∴ －2π＜2A －B ＜π， ∴ 2A －B ＝2π⇒sin 2A ＝cos B ，即sin 2A －cos B ＝0． 3．B 解析：由sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π－x ＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x －4π＝cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋4π，得f (x )＝sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛4π＋x －cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋4π＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛2π＋2x ＝sin 2x ．4.C 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当0b =时，a 与c 可以为任意向量；||||b a b a -=+，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直；还要考虑夹角 5. C 22036916cos 60913a b a a b b +=++=++= 6. C 21cos ,423a b a bπθθ==== 7. 正确答案：B 错因：学生求C 有两解后不代入检验。

8.解一：设点，则此点满足解得或即选B解二：用赋值法， 令 同样有选B说明：此题极易认为答案B 最不可能，怎么能会与无关呢？其实这是我们忽略了一个隐含条件，导致了错选为C 或D 。

9. 解：由平方相加得若 则又 选A说明：此题极易错选为，条件比较隐蔽，不易发现。

这里提示我们要注意对题目条件的挖掘。

10. 正解：Dπαπαπα61165,3332cos tan ==∴-==或，而032sin >π032cos <π所以，角α的终边在第四象限，所以选D ，πα611=误解：παπα32,32tan tan ==,选B11. 正解：D由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+31tan tan 53tan tan B A B A253235tan tan 1tan tan )tan(==-+=+∴B A B A B A在ABC ∆中，025)tan()](tan[tan <-=+-=+-=B A B A C π C ∠∴是钝角，ABC ∆∴是钝角三角形。

12. 答案：D 设t y x y x t y x 21)sin )(cos cos (sin ,sin cos ==则，可得sin2x sin2y=2t,由21211212sin 2sin ≤≤-∴≤≤t t y x 即。

错解：B 、C错因：将t y x t y x y x +=+==21)sin(sin cos 21cos sin 相加得与由212312111)sin(1≤≤-≤+≤-≤+≤-t t y x 得得选B ，相减时选C ，没有考虑上述两种情况均须满足。

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）一、 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.-2 14. 15. ③④ 16. －924 13. 正确解法：1>a ∴a 4tan tan -=+βα0<，o a >+=⋅13tan tan βα ∴βαtan ,tan 是方程01342=+++a ax x 的两个负根又⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2,ππβα ⎪⎭⎫⎝⎛-∈∴0,2,πβα 即⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈+0,22πβα 由tan ()βα+=βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+=()1314+--a a =34可得.22tan -=+βα答案: -2 .14.由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得22222222222222446a b a b a b a b a b a b ++-=+⇒+=+--=+⨯-= 15.正解：③④① 1cos sin ],21,21[2sin 21cos sin =∴-∈=ααααα不成立。

② ∴-∈-∈+=+],2,2[23],2,2[)4sin(2cos sin πααα不成立。

③ )225sin(x y -=πx x 2cos )22sin(=-=π是偶函数，成立。

④ 将8π=x 代入452π+x 得23π,∴8π=x 是对称轴，成立。

⑤ 若 390=α，,,60βαβ>= 但βαsin sin <，不成立。

误解：①②没有对题目所给形式进行化简，直接计算，不易找出错误。

⑤没有注意到第一象限角的特点，可能会认为是)90,0( 的角，从而根据x y sin =做出了错误的判断。

16．－924． 解析：∵ sin ⎪⎭⎫⎝⎛α － 4π＝sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π － 2π＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4π，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πsin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α － 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛α ＋ 4πcos ⎪⎭⎫⎝⎛α ＋ 4π＝61⇒sin ⎪⎭⎫⎝⎛α2 ＋ 2π＝31．∴ cos 2＝31，又∈(2π，π)，∴ 2∈(π，2π)．∵ sin 2＝－α2cos －12＝－322， ∴ sin 4＝2sin 2cos 2＝－924． 三、解答题（本题共6小题，共70分） 17. 解：令 则而对称轴为当时，；当时，说明：此题易认为时，，最大值不存在，这是忽略了条件不在正弦函数的值域之内。

18. 解：∵ 127π＜x ＜47π，∴ 65π＜4π＋x ＜2．又cos ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝53＞0，∴23π＜4π＋x ＜2，∴ sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－54，tan ⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＝－34．又 sin 2x ＝－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛x 2 ＋ 2π＝－cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛x ＋ 4π＝－2cos 2⎪⎭⎫⎝⎛x ＋ 4π＋1＝257，∴ 原式＝xx x x cos sin －1sin 2＋2sin 2＝x x x x x x sin －cos cos sin 2＋cos 2sin 2＝x x x x x sin －cos sin ＋cos 2sin )(＝x x x tan －1tan ＋12sin )(＝sin 2x ·tan(4π＋x )＝－7528．19. 正解：由)(x f 是偶函数，得)()(x f x f =-故)sin()sin(Φ+=Φ+-x x ωωx x ωωsin cos sin cos ,Φ=Φ-∴ 对任意x 都成立，且0cos ,0=Φ∴>ω依题设0≤Φ≤π，2π=Φ∴由)(x f 的图像关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ取0)43(),43()43(0=∴-==πππf f f x 得0)43cos(),43cos()243sin()43(=∴=+=x x x f ωωπωπ又0>ω，得......2,1,0,243=+=k k x ππω...2,1,0),12(32=+=∴k k ω当0=k 时，)232sin()(,32πω+==x x f 在]2,0[π上是减函数。