有关圆的经典例题１.在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。

132O AB AC BAC分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示,过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ，∵，，∴，AB AC AD AE ====323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===132cos cos ∠OAE AE OA ==22∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°,当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示，同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５°点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证:△ＡBC 是直角三角形；()22求的值AD BC分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线;（2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC22122===解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂=又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =12∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。

（2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90°而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA∴，即·AD DE DFADAD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==212∴·，故AD BC R AD BCR 22==例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ）A AB CDB AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22 C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂2()112把的一半作出来，然后比较与的大小。

AB AB CD ⋂⋂⋂()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。

CD CD AB ⋂⋂⋂解:解法(一），如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E,则AF FB AB ⋂=⋂=⋂12AE EB AB ==12∵，∴AB CD AE CD AB ===212∵AF FB AF FB ⋂=⋂=，∴在△AFB 中,有A Ｆ+F Ｂ＞AB∴，∴，∴，∴2222AF AB AF ABAF CD AF CD >>>⋂>⋂∴AB CD ⋂>⋂2∴选A 。

解法（二),如图，作弦DE ＝ＣD ，连结C Ｅ则DE CD CE ⋂=⋂=⋂12在△C ＤＥ中，有C Ｄ+ＤＥ>ＣE ∴2CD>ＣE∵AB=2CD ，∴ＡB>CE∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂2∴选A 。

例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141 求C Ｄ的长。

分析:连结ＢD ，由AB=BC,可得DB 平分∠ＡDC,延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△E ＤＡ,又可判定A Ｄ是⊙Ｏ的直径,得∠ABD=90°，可证得△ＡBD ≌△EBD ，得DE ＝AD,利用△E ＢC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。

解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵AB BC AD ===141--∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂==4∵⊙Ｏ的半径为2,∴ＡD 是⊙Ｏ的直径 ∴∠A ＢD=∠EBD ＝90°，又∵BD=ＢD∴△ＡBD ≌△EBD ，∴ＡＢ=ＢE=1，AD=D Ｅ=４ ∵四边形AB ＣD 内接于⊙O,∴∠EBC ＝∠E ＤA ，∠ECB ＝∠EAD∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CEAE=∴·CE BC AE AD BC AB BE AD ==+=+=()11412∴CD DE CE =-=-=41272例５. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂于H,交⊙O 于点Ｅ,交AC 于点F ，P 为E Ｄ的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么?()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=分析：由题意容易想到作辅助线OC, (1）要使ＰC 与⊙Ｏ相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠P ＣF ＝∠FAH+∠AFH 就可以了。

()22要使·，即使，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DFADDAF DEA == 解:（1）当PC ＝P Ｆ，（或∠PC Ｆ=∠P ＦＣ）时,PC 与⊙O 相切, 下面对满足条件P Ｃ=ＰF 进行证明， 连结O Ｃ，则∠OCA=∠ＦAH ，∵PC ＝PF,∴∠P ＣＦ=∠PF Ｃ=∠ＡFH,∵DE ⊥AB 于Ｈ,∴∠OC Ａ＋∠PCF=∠FA Ｈ+∠AFH=9０° 即O Ｃ⊥PC ，∴ＰC 与⊙Ｏ相切。

()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂= 又∵∠∠，ADF EDA =∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DFAD=即AD ２＝D Ｅ·DF点拨:本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF 满足什么条件时,ＰＣ与⊙O 相切，可以反过来，把PC 与⊙O 相切作为条件,探索△PCF 的形状，显然有多个答案;第(２)问也可将AD 2=ＤＥ·DF 作为条件，寻找两个三角形相似,探索出点D 的位置。

例6． 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F,若AE ：B Ｅ=２：1,求tan ∠ＡDE 的值。

分析:要求tan ∠ADE,在Rt △AED 中,若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。

ED=ＥＦ+FD,而EF ＝EB ，F Ｄ=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和ＡE 的关系,进一步可求出AE ：AD 。

解：∵四边形ＡBC Ｄ为矩形,∴BC ⊥ＡB,BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F,∴DF=DC ，EF=EB,即D Ｅ=DC ＋EB, 又∵AE ：EB ＝2:1,设B Ｅ=ｘ，则ＡE ＝2ｘ,DC=AB=3x ， ＤE=D Ｃ＋ＥＢ=4x ，在Ｒt △A ＥＤ中,AE=2x ，DE=4ｘ, ∴AD x =23 则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中,通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。

例7. 已知⊙O 1与⊙O 2相交于Ａ、B 两点,且点O 2在⊙O 1上，（1)如下图，AD 是⊙O 2的直径,连结DB 并延长交⊙O 1于Ｃ，求证C Ｏ2⊥A Ｄ；（2）如下图,如果AD 是⊙Ｏ２的一条弦，连结D Ｂ并延长交⊙Ｏ1于C ，那么CO 2所在直线是否与A Ｄ垂直?证明你的结论。

分析：（1)要证CO 2⊥AD ，只需证∠CO 2D=9０°，即需证∠D+∠Ｃ=90°，考虑到AD 是⊙Ｏ2的直径，连结公共弦AB,则∠A=∠Ｃ，∠ＤB Ａ=90°，问题就可以得证。

(2）问题②是一道探索性的问题,好像难以下手,不妨连结ＡＣ,直观上看，A Ｃ等于CD,到底ＡC 与CD 是否相等呢？考虑到O 2在⊙Ｏ1上,连结AO 2、D Ｏ2、B Ｏ2，可得∠１＝∠2,且有△AO 2Ｃ≌△ＤO 2C ，故CA=ＣD ，可得结论ＣＯ２⊥AD 。

解:（1)证明,连结AB,A Ｄ为直径，则∠A ＢD=９0° ∴∠D ＋∠BA Ｄ=90°又∵∠ＢＡD ＝∠Ｃ,∴∠Ｄ+∠C=90° ∴∠ＣＯ２D ＝90°,∴CO ２⊥AD (2)C Ｏ2所在直线与AD 垂直， 证明:连结O 2A 、O ２B 、Ｏ２D 、AC 在△AO 2Ｃ与△ＤO 2C 中∵，∴，∴∠∠O A O B AO BO 222212=⋂=⋂=∵∠Ｏ2BD=∠O ２AC ，又∠O ２B Ｄ=∠O ２DB,∴∠O ２A Ｃ＝∠O 2ＤB ∵Ｏ2Ｃ=Ｏ2C,∴△AO 2C ≌△DO 2C,∴C Ａ=C Ｄ, ∴△C ＡＤ为等腰三角形,∵CO 2为顶角平分线,∴CO ２⊥ＡD 。

例8. 如下图,已知正三角形A ＢC 的边长为a,分别为A 、B 、C 为圆心,以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aO O O O O O O O O 2123122331⋂⋂⋂ 积S 。

(图中阴影部分)分析:阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。

解:S a S a a ABC △扇，×·===3433628222ππ() ∴阴S a a a =-=-348238222ππ 此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都A B C为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。

a2()分析:因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求,因为∠Ａ＋∠B+∠C=180°，因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为，π82a原题可在上一题基础上进一步变形：⊙Ａ1、⊙A 2、⊙A ３…⊙A n 相外离,它们的半径都是1,顺次连结n 个圆心得到的n 边形A １A 2A 3…Ａn ，求n 个扇形的面积之和。

解题思路同上。

解:()n -22π一、填空题(1０×4＝4０分)1. 已知：一个圆的弦切角是50°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数为__＿＿＿__＿__＿。

2. 圆内接四边形A ＢCD 中,如果∠A:∠Ｂ:∠C=2:３：４，那么∠D ＝_＿____＿____度。

３. 若⊙Ｏ的半径为3，圆外一点P 到圆心Ｏ的距离为6,则点Ｐ到⊙O 的切线长为___＿＿__＿___。